满足 N! 的末尾恰好有 K 个 0 的最小的 N 是多少? 如果这样的 N 不存在输出 −1

这个问题可以回答。根据数学知识，末尾有K个0，意味着N中有K个因子5。因此，我们需要找到N中因子5的个数。可以使用二分查找来找到最小的N。具体来说，我们可以从1到N二分查找，对于每个中间值mid，计算mid中因子5的个数。如果因子5的个数小于K，则在[mid+1, N]中继续查找；如果因子5的个数大于等于K，则在[1, mid]中继续查找。最终找到的N就是满足条件的最小值。如果不存在这样的N，则输出-1。

相关问题

满足n!的末尾恰好有k个0的最小的n是多少

要满足n!的末尾恰好有k个0，就需要n!中包含k个因子5。因为每个因子5都可以和一个因子2相乘得到一个10，而2的因子数量一定比5多，所以只需要考虑因子5的数量。

首先，我们可以发现，当n越大，n!中包含的因子5的数量也会越多。因此，我们可以使用二分查找的方法来找到最小的n，使得n!中包含k个因子5。

具体来说，我们可以先设定一个左边界l和一个右边界r，分别为1和k。然后，每次取中间值mid=(l+r)//2，计算mid!中包含的因子5的数量count，如果count<k，则说明mid太小，应该将左边界l更新为mid+1；如果count>=k，则说明mid可能是一个合法的解，应该将右边界r更新为mid。最终，当l=r时，就找到了最小的n。

下面是具体的代码实现：

def count_factors(n, factor):
count = 0
while n % factor == 0:
count += 1
n //= factor
return count

def count_trailing_zeros(n):
count = 0
while n > 0:
count += n // 5
n //= 5
return count

def find_min_n(k):
l, r = 1, k
while l < r:
mid = (l + r) // 2
count = count_trailing_zeros(mid)
if count < k:
l = mid + 1
else:
r = mid
return l if count_trailing_zeros(l) == k else -1

其中，count_factors(n, factor)函数用于计算n中包含的因子factor的数量，count_trailing_zeros(n)函数用于计算n!末尾的0的数量，find_min_n(k)函数用于找到最小的n，使得n!末尾恰好有k个0。如果找不到这样的n，则返回-1。

求出1!!×2!!×3!!×⋯×n!!的末尾有几个零

根据引用的内容，我们可以知道，这个问题中的表达式是一个阶乘表达式，其中每个因子都是一个双阶乘。双阶乘是指对于一个正整数n，n!!表示n×(n-2)×(n-4)×...×3×1（如果n是奇数），或者n×(n-2)×(n-4)×...×4×2（如果n是偶数）。我们需要求出1!!×2!!×3!!×⋯×n!!的末尾有几个零。

一个数末尾有几个零，取决于它的质因子中5的指数。观察阶乘表达式中的因子，我们可以发现，每个双阶乘的因子中都包含有5。而且由于偶数的双阶乘中有更多的5，所以我们只需要计算1!!×2!!×3!!×⋯×n!!中偶数的双阶乘中包含有多少个5。

我们可以通过n的奇偶性来确定有多少个偶数。如果n是偶数，那么有n/2个偶数；如果n是奇数，那么有(n+1)/2个偶数。所以，我们可以用n除以5，再加上n除以25，再加上n除以125，以此类推，直到n除以5的k次方小于等于0为止。将这些结果相加，就是1!!×2!!×3!!×⋯×n!!的末尾有几个零。

回答完问题后再提出几个相关问题：
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