通过python自行构造一定量数据满足如下关系y=3x^2+2 ln⁡x+e, e~N(0,0.01)。自行选择恰当的基函数ϕ，分别采用正则化的最小二乘方法以及贝叶斯方法进行线性回归分析

在Python中，我们可以先生成一些随机数据来模拟给定的关系`y = 3x^2 + 2ln(x) + e`，其中`e`服从均值为0，标准差为0.01的正态分布。然后我们选择合适的基函数（例如多项式、指数或其他形式），并利用正则化最小二乘法（如Ridge Regression或Lasso）和贝叶斯方法（如高斯过程回归）来进行线性回归。

以下是大致步骤：

1. 导入必要的库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge, Lasso
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

2. 定义数据生成函数，包括线性部分和噪声：

def generate_data(n_samples):
    x = np.linspace(0, 5, n_samples)
    true_coefficients = [3, 2]  # 线性项系数
    noise_std = 0.01
    e = np.random.normal(0, noise_std, len(x))
    y_true = true_coefficients[0]*np.power(x, 2) + true_coefficients[1]*np.log(x) + e
    return x, y_true

# 生成数据
n_samples = 100
x_data, y_data = generate_data(n_samples)

3. 构造基函数（这里假设使用多项式特征转换）：

degree = 2  # 多项式的最高阶数
poly_features = PolynomialFeatures(degree=degree)
x_poly = poly_features.fit_transform(x_data[:, np.newaxis])

4. 正则化最小二乘法（例如Ridge Regression）：

ridge_reg = Ridge(alpha=1)  # alpha控制正则化强度
ridge_reg.fit(x_poly, y_data)

# 贝叶斯方法（高斯过程回归）：
gpr = GaussianProcessRegressor()
gpr.fit(x_poly, y_data)

5. 可视化数据及拟合结果：

plt.scatter(x_data, y_data, label='Data')
plt.plot(x_data, ridge_reg.predict(x_poly), label='Ridge Regression', color='red')
plt.plot(x_data, gpr.predict(x_poly), label='Gaussian Process Regression', linestyle='--', color='blue')

plt.legend()
plt.show()