公式s(n)=1^2+2^2+••+n^2, 对于给定的正整数m,求满足条件的最大整数n,使得s(n) ≤m,s(n+1)>m。
时间: 2023-06-05 18:47:41 浏览: 91
题目要求给定一个正整数m,求出满足条件的最大整数n,使得公式s(n)=1^2+2^2+...+n^2不超过m,并且公式s(n+1)超过m。
解题思路:
我们可以使用数学方法来求解这个问题。对于公式s(n),我们可以知道它是一个二次函数,即s(n)=n*(n+1)*(2n+1)/6。因此我们可以通过求解二次方程s(n)=m来得到最大整数n。具体过程如下:
将公式s(n)代入s(n)=m得到n*(n+1)*(2n+1)/6=m。
化简得到2n^3+3n^2+n-6m=0。
利用牛顿迭代法或二分法求解上述方程,得到最大的整数n。
最后,检验s(n)和s(n+1)的大小关系是否满足要求即可。
注意,对于求解二次方程的过程,需要考虑到n是正整数这个条件,因此需要筛选出符合条件的n。如果使用二分法求解二次方程,可以在每次迭代时进行筛选。如果使用牛顿迭代法,需要在得到解之后再进行筛选。
最终的算法时间复杂度为O(logm)。
相关问题
x'=x^2+a(t)如何求解
对于给定的微分方程 x' = x^2 a(t),我们可以采用一些数值方法或近似方法来求解。
一种常用的数值方法是欧拉法。我们可以将微分方程离散化为:
x_(i+1) = x_i + Δt * x_i^2 * a(t_i)
其中 x_i 是离散化后的变量值,t_i 是对应的时间点。我们可以从初始条件 x_0 开始,按照上述公式迭代计算直到所需的时间范围内。
另一种更精确的数值方法是龙格-库塔法 (Runge-Kutta method)。具体来说,我们可以采用四阶龙格-库塔法。该方法迭代计算的公式如下:
k_1 = Δt * x_i^2 * a(t_i)
k_2 = Δt * (x_i + k_1/2)^2 * a(t_i + Δt/2)
k_3 = Δt * (x_i + k_2/2)^2 * a(t_i + Δt/2)
k_4 = Δt * (x_i + k_3)^2 * a(t_i + Δt)
x_(i+1) = x_i + 1/6 * (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
同样地,我们从初始条件 x_0 开始,按照上述公式迭代计算直到所需的时间范围内。
近似方法方面,我们可以根据情况选取简化的形式来求解微分方程。例如,我们可以假设 a(t) 为常数,从而转化为常微分方程 x' = x^2 a。这样我们可以使用变量分离法、分离变量法、常数变易法等常见的常微分方程求解方法,来求解该方程。
求 F(s) =s ^2/(s ^2+1) 的 Laplace 反变换;
根据 Laplace 反变换的定义,我们需要找到一个函数 f(t),使得它的 Laplace 变换 F(s) 满足以下等式:
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt
对于给定的 F(s) = s^2/(s^2+1),我们需要将其分解为简单分式形式,即:
F(s) = s^2/(s^2+1) = 1 - 1/(s^2+1)
因此,我们需要找到两个函数 f1(t) 和 f2(t),它们的 Laplace 变换分别是 1 和 1/(s^2+1),然后将它们的线性组合作为 f(t) 即可。因此,我们有:
f1(t) = 1,L{f1(t)} = 1/s
f2(t) = sin(t),L{f2(t)} = 1/(s^2+1)
因此,我们可以得到:
F(s) = s^2/(s^2+1) = 1 - 1/(s^2+1) = L{f1(t)} - L{f2(t)} = ∫[0,∞) (e^(-st) - cos(t)) dt
因此,根据 Laplace 反变换的定义,F(s) 的反变换为:
f(t) = L^(-1){F(s)} = L^(-1){∫[0,∞) (e^(-st) - cos(t)) dt} = u(t) - sin(t)
其中,u(t) 是单位阶跃函数。