admm解决lasso绘出的图像

ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）是一种求解凸优化问题的迭代算法。而Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是一种常用的线性回归模型选择方法。下面将介绍ADMM如何应用于Lasso问题以及如何从中得到图像。

ADMM的目标是将原问题转化为一系列可求解的子问题，并通过交替迭代的方式逐步优化。对于Lasso问题，目标是找到最小化残差平方和和稀疏程度的线性回归模型。ADMM可以将该问题分解为两个子问题：一个是对系数进行最小化，一个是对残差进行最小化。通过对这两个子问题交替求解，可以逐渐逼近最优解。

在求解过程中，我们可以得到系数的变化轨迹，通过绘制图像来观察ADMM算法的收敛情况。具体来说，可以绘制每一次迭代中系数的变化情况，观察是否逐渐稳定。如果系数在迭代中呈现出震荡或者其他不稳定的情况，可能需要调整算法的参数或者停止迭代，这可以通过图像直观地呈现出来。

此外，可以绘制损失函数值随迭代次数变化的图像，观察损失函数是否逐渐收敛到最小值。如果损失函数值在迭代过程中持续减小，说明ADMM算法正在有效地逼近最优解。通过观察这样的图像，可以判断算法是否在有效地求解Lasso问题。

综上所述，ADMM算法可以用于解决Lasso问题，并通过绘制系数变化和损失函数变化的图像来可视化算法的收敛情况。这些图像可以帮助我们理解算法的行为和性能，并对参数进行调整，从而得到更好的结果。

相关问题

随机优化算法ADMM

### 随机优化算法 ADMM 的原理

交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）是一种用于解决可分解的大规模优化问题的有效方法。ADMM 将原始问题拆分为更简单的子问题来逐一求解，从而降低了计算复杂度并提高了处理效率[^1]。

对于随机优化场景下的 ADMM 方法而言，在每次迭代过程中引入了随机采样机制。具体来说，不是每次都利用全部数据样本更新模型参数，而是仅采用部分随机选取的数据集来进行局部最优解的寻找。这种策略不仅减少了每轮运算所需的时间开销，还能够在一定程度上缓解过拟合现象的发生。

### 实现方式

为了更好地理解如何通过编程实现基于随机抽样的 ADMM 算法，下面给出一段 Python 伪代码作为参考：

import numpy as np

def admm_randomized(X, y, rho=1.0, max_iter=100):
    m, n = X.shape
    
    # 初始化变量
    w = np.zeros(n)
    z = np.zeros(n)
    u = np.zeros(n)

    for t in range(max_iter):
        # 随机抽取一批次训练样本索引
        batch_indices = np.random.choice(m, size=int(0.1 * m), replace=False)
        
        Xt_batch = X[batch_indices]
        yt_batch = y[batch_indices]

        # 更新w (最小化augmented Lagrangian函数的第一项)
        A = Xt_batch.T @ Xt_batch + rho * np.eye(n)
        b = Xt_batch.T @ yt_batch + rho * (z - u)
        w = np.linalg.solve(A, b)

        # 更新z (软阈值操作)
        soft_threshold = lambda v, k: np.sign(v) * np.maximum(np.abs(v)-k/rho, 0.)
        z = soft_threshold(w + u, 1.)

        # 更新u (拉格朗日乘数)
        u += w - z
        
    return w, z, u

此段代码展示了针对线性回归任务下Lasso正则化的简化版随机ADMM流程。其中`rho`代表惩罚系数；`max_iter`定义最大迭代次数；而`soft_threshold()`则是实现了经典的软阈值算法规则以促进稀疏性的形成。

### 应用领域

ADMM 在多个方面有着广泛的应用价值，尤其是在面对结构复杂的大型系统时表现出色。例如，在机器学习中常被用来高效地处理高维特征空间内的分类预测难题；另外也适用于图像恢复、信号重建等领域内涉及到大量冗余信息压缩的任务。除此之外，由于具备良好的扩展性和灵活性特点，该技术同样适合于分布式环境下的协同工作模式——即允许不同节点之间相互交换少量中间结果即可完成全局最优化目标的逼近过程[^2]。