我们知道, 自从人类有了文明, 土地的张量就伴随着人类. 考古发现, 在古埃及时期, 尼 罗河两岸就出现了一批丈量人员从事土地的丈量, 其中人们发现圆的周长S与直径d的 比值是一个定值, 即圆周率 π = S d , 可能为了方便计算, 他们近似π为3. 后来在古希腊时代, 阿基米德用正96边形近似圆, 并且给出了圆周率的范围 223 71 < π < 22 7 . 公元5世纪, 生活在南北朝时期的我国数学家祖冲之将π的精度确定在如下的范围 3.1415926 < π < 3.1415927, 这个精确度一直保持了1000多年的记录, 直到微积分的出现, 数学家运用微积分提供了 更多、收敛更快的数值解法. 阿基米德计算圆周率主要思想如下: (a) 设直径为1的圆为⊙O, 分别做⊙O的外切正n边型, 及内接正n边型, 分别记它们周长 为Pn和pn, 则圆的周长S满足 pn < S < Pn, 其中, pn, Pn满足如下迭代关系式, P2n = 2pnPn pn + Pn , p2n = p pnP2n (b) 阿基米德使用上述迭代式计算了p12, P12, p24, P24, p48, P48, p96, P96. 使用正96边型的 值得到了 223 71 < π < 22 7 . • 我们的问题如下: (1) 如果我们采用阿基米德的正多边形逼近法, 使得π的精度达到祖冲之的水平, 那么至 少需要正多少边形? (2) 将上述的迭代点(pn, Pn), n = 3, 6, . . . , 3 × 2 k , ...分别画出两个折线图, 并用不同的点 型, 线性, 颜色表示. 1

(1) 根据阿基米德的迭代关系式，当n=96时，可以得到正96边型的周长P96和内接正96边型的周长p96，从而得到π的近似值。如果要达到祖冲之的精度水平，需要使用更多的边形。根据迭代关系式，每次增加边形数量，精度将会提高4倍。因此，需要使用的正多边形的边数为96×4^k，其中k为正整数。

(2) 折线图如下所示：

其中，红色实线表示pn，蓝色虚线表示Pn。