梯度下降法训练无约束的多元线性回归模型

梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化损失函数，从而训练多元线性回归模型。在无约束的情况下，我们需要找到一组参数，使得损失函数最小。

具体来说，我们可以将多元线性回归模型表示为：

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \cdots + \beta_px_p$$

其中，$y$ 表示因变量，$x_1, x_2, \cdots, x_p$ 表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_p$ 表示模型参数。

损失函数可以使用均方误差（MSE）表示：

$$J(\beta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(y_i - \beta_0 - \beta_1x_{i1} - \beta_2x_{i2} - \cdots - \beta_px_{ip})^2$$

其中，$m$ 表示样本数量，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的真实值。

梯度下降法的思想是通过不断迭代调整参数，使得损失函数最小化。具体来说，我们需要计算损失函数对每个参数的偏导数，然后按照负梯度方向更新参数。

偏导数计算如下：

$$\frac{\partial J}{\partial \beta_0} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_i - \beta_0 - \beta_1x_{i1} - \beta_2x_{i2} - \cdots - \beta_px_{ip})$$

$$\frac{\partial J}{\partial \beta_j} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_i - \beta_0 - \beta_1x_{i1} - \beta_2x_{i2} - \cdots - \beta_px_{ip})x_{ij}$$

其中，$j=1, 2, \cdots, p$。

按照负梯度方向更新参数：

$$\beta_j := \beta_j - \alpha\frac{\partial J}{\partial \beta_j}$$

其中，$\alpha$ 表示学习率，控制每次迭代的步长。通常需要手动调整学习率，以保证算法能够收敛。

以上就是使用梯度下降法训练无约束的多元线性回归模型的步骤。需要注意的是，该算法可能会陷入局部最优解，需要多次运行以获得更好的结果。