a1=(1,0,0,-1),a2=(0,1,1,2),a3=(1,2,2,3),b1=(1,-1,-1,3),b2=(-1,1,2,1),b3=(3,-3,-3,-7),V1=L(a1,a2,a3),V2=L(b1,b2,b3),求V1+V2,V1∩V2的一组基及维数

这是一个线性代数的问题，属于IT类问题。

首先求 $V_1+V_2$，可以先求出它们的和空间 $V=V_1+V_2$，即由 $V_1$ 和 $V_2$ 中所有向量的线性组合构成的向量空间。可以将 $V_1$ 和 $V_2$ 中的向量合并，然后进行高斯消元，求出 $V$ 的一组基即可。

将 $V_1$ 和 $V_2$ 中的向量按行排列，得到矩阵 $A$：
$$
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & -3 & -7 \end{pmatrix}
$$
对 $A$ 进行高斯消元，得到行阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
可以看到，$A$ 的秩为 $3$，因此 $V$ 的维数为 $3$。可以取高斯消元后的前三行向量作为 $V$ 的一组基：
$$
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
$$

接下来求 $V_1\cap V_2$ 的一组基及维数。可以使用矩阵的秩和零空间的概念求解。

将 $V_1$ 和 $V_2$ 中的向量按行排列，得到矩阵 $B$：
$$
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & -3 & -7 \end{pmatrix}
$$
对 $B$ 进行高斯消元，得到行阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
可以看到，$B$ 的秩为 $3$，因此 $V_1\cap V_2$ 的维数为 $3-\operatorname{rank}(B^\top)=2$。可以求出 $B^\top$ 的零空间的一组基，然后将其转换为列向量即可。对 $B^\top$ 进行高斯消元，得到行阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
可以看到，$B^\top$ 的秩为 $2$，因此零空间的维数为 $4-2=2$。可以取高斯消元后得到的前两个自由变量对应的列向量作为 $V_1\cap V_2$ 的一组基：
$$
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
$$