用任意语言实现函数permutation(n, m)。要求： a. 对于整数m，当0<m<=n!，返回一个1至n的排列 b. 对于同一n，不同的m，返回不同的排列 c. 空间复杂度和时间复杂度均不超过O(n)

以下是 Python 代码实现，使用了康托展开和康托展开的逆运算：

def permutation(n, m):
    # 阶乘
    fact = 1
    for i in range(2, n+1):
        fact *= i

    if m <= 0 or m > fact:
        return None

    # 康托展开
    m -= 1  # 将 m 转化为从 0 开始的下标
    nums = list(range(1, n+1))
    res = []
    for i in range(n-1, -1, -1):
        fact //= (i+1)
        index = m // fact
        m %= fact
        res.append(nums[index])
        nums.pop(index)

    return res

使用时，调用`permutation(n, m)`即可获取一个 1 到 n 的排列，其中 m 表示不同的排列。

解释一下函数的实现：

1. 首先计算 n 的阶乘，用于判断 m 是否在合法范围内。
2. 将 m 转化为从 0 开始的下标，方便后续计算。
3. 对于每个数字，计算它在当前剩余数字中的下标，使用康托展开公式计算出它的实际值，并将其从剩余数字中删除。重复该过程即可得到所有数字。

该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

相关问题

用任意语言实现函数permutation(n, m)。要求: a. 对于整数m,当0<m<=n!,返回一个1至n的排列 b. 对于同一n,不同的m,返回不同的排列 c. 空间复杂度和时间复杂度均不超过O(n)

以下是 Python 语言实现的函数 `permutation(n, m)`：

def permutation(n, m):
    nums = list(range(1, n+1))
    res = []
    factorial = 1
    for i in range(1, n+1):
        factorial *= i
    m -= 1
    while n > 0:
        factorial //= n
        index = m // factorial
        res.append(nums.pop(index))
        m %= factorial
        n -= 1
    return res

该函数的实现思路是利用阶乘的性质，将 m 转换为 n 个数字的排列中第几个排列，然后通过不断地计算余数和商来得到每个位置对应的数字。

具体地，我们设要求的排列为 $p_1, p_2, ..., p_n$，则第 $i$ 个位置可以选择的数字为 $1,2,...,n$ 中没有被选过的数字中第 $i$ 大的数字，设第 $i$ 个位置选的数字为 $x_i$，则可以得到如下的式子：

$$m = (x_1 - 1) \times (n-1)! + (x_2 - 1) \times (n-2)! + ... + (x_n - 1) \times 0!$$

上述式子中每一项都是该位置选择的数字对总方案数的贡献，因为前面的位置已经选定了对应的数字，所以剩下的数字中第 $i$ 大的数字的排名为 $x_i$。

我们可以通过不断地计算 $m$ 对 $(n-1)!$ 的商和余数来得到每个位置选的数字。具体地，我们从 $n$ 到 $1$ 遍历每个位置，每次计算出当前位置选的数字在剩下的数字中的排名，然后将该数字从剩下的数字中删除。最后返回得到的排列即可。

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度也为 $O(n)$。

有一个1到N的排列P，给定P中任意两数的大小关系，求恢复这个排列。 输入说明 第一行一个整数N，接下来N行，每行N个数。 第i行第j列为-1表示Pi<Pj，为1表示Pi>Pj，为0表示Pi=Pj。 1 <= N <= 1000 输出说明 输出一行N个数，表示排列P。 输入样例 5 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 -1 -1 0 -1 1 -1 -1 1 0 1 -1 -1 -1 -1 0 输出样例 5 4 2 3 1 写出c++代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int> restorePermutation(int N, vector<vector<int>>& relations) {
    vector<int> permutation(N);
    
    // Initialize the permutation with values from 1 to N
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        permutation[i] = i + 1;
    }
    
    // Sort the permutation based on the given relations
    sort(permutation.begin(), permutation.end(), [&](int a, int b) {
        return relations[a-1][b-1] == -1;
    });
    
    return permutation;
}

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    
    vector<vector<int>> relations(N, vector<int>(N));
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            cin >> relations[i][j];
        }
    }
    
    vector<int> permutation = restorePermutation(N, relations);
    
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cout << permutation[i] << " ";
    }
    
    return 0;
}

以上是用C++实现的代码。首先，我们定义一个函数`restorePermutation`来恢复排列。函数接受一个整数N和一个N*N的关系矩阵，在函数内部进行排列的恢复，并返回恢复后的排列。

在`restorePermutation`函数中，我们首先初始化一个长度为N的排列，初始值为1到N。然后，根据给定的关系矩阵，使用`sort`函数对排列进行排序。排序的比较函数使用lambda表达式，根据关系矩阵中的值来判断两个元素的大小关系。

在主函数中，我们首先读取输入的N和关系矩阵。然后调用`restorePermutation`函数恢复排列，并输出结果。

注意：这段代码假设输入的关系矩阵中的值只能是-1、0、1，且排列中的元素从1开始。如果输入的关系矩阵中的值不满足这些条件，可能需要进行适当的修改。