改进的欧拉格式 C++

改进的欧拉格式（Improved Euler Method）是一种数值解常微分方程的方法。其基本思想是通过对欧拉格式的改进，来提高数值解的精度。

以下是改进的欧拉格式的C++代码示例：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x, double y) {
    return x - y*y;
}

double improved_euler(double x0, double y0, double h, double xn) {
    double y = y0;
    for (double x = x0; x < xn; x += h) {
        double k1 = h * f(x, y);
        double k2 = h * f(x + h, y + k1);
        y += (k1 + k2) / 2;
    }
    return y;
}

int main() {
    double x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1, xn = 1;
    double y = improved_euler(x0, y0, h, xn);
    cout << "y(" << xn << ") = " << y << endl;
    return 0;
}

其中，`f` 函数是常微分方程的右侧函数。`improved_euler` 函数是改进的欧拉格式的实现，输入参数包括起点 `(x0, y0)`，步长 `h`，终点 `xn`，输出参数为终点处的数值解 `y`。在 `improved_euler` 函数中，通过计算两个斜率 `k1` 和 `k2`，来对当前点 `(x, y)` 进行更新，从而得到下一个点 `(x+h, y+(k1+k2)/2)`。

在本示例中，我们求解的是常微分方程 `y' = x - y^2`，初始条件为 `y(0) = 1`，终点为 `x=1`。步长 `h` 可以自行调整，以达到所需的精度。