抽样函数的平方的傅里叶变换
时间: 2023-08-08 21:10:48 浏览: 174
假设抽样函数为 $f_s(t)$,其傅里叶变换为 $F_s(\omega)$。抽样函数的平方为 $f_s^2(t)$,其傅里叶变换可以表示为:
$$
\begin{aligned}
F_s^2(\omega) &= \mathcal{F}[f_s^2(t)] \\
&= \mathcal{F}[f_s(t) * f_s(t)] \\
&= F_s(\omega) \ast F_s(\omega) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} F_s(\omega') F_s(\omega - \omega') d\omega'
\end{aligned}
$$
其中,$*$ 表示卷积运算,$\ast$ 表示逐元素相乘。这里用到了卷积定理和傅里叶变换的线性性质。由于 $f_s(t)$ 是一个周期为 $T_s$ 的函数,其傅里叶变换可以表示为:
$$
F_s(\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega - n\omega_s)
$$
其中,$\omega_s = 2\pi/T_s$ 是采样频率。将其代入上式,得到:
$$
\begin{aligned}
F_s^2(\omega) &= \frac{1}{T_s^2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} F(\omega - n\omega_s) F(\omega - m\omega_s) \\
&= \frac{1}{T_s^2} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega - k\omega_s) F(\omega - (k+n)\omega_s)
\end{aligned}
$$
其中,$k = n - m$。根据周期性条件 $F(\omega + k\omega_s) = F(\omega)$,可以将上式化简为:
$$
F_s^2(\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} F(\omega - k\omega_s) \ast F(\omega - k\omega_s)
$$
这就是抽样函数的平方的傅里叶变换。
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