matlab实现三弯矩法代数插值

三弯矩法是一种常用的插值方法，可以用于曲线拟合和数据平滑等应用。以下是一个 MATLAB 的三弯矩法代数插值的实现示例：

function [x_out, y_out] = cubic_spline(x_in, y_in)
    % 判断输入的数据是否符合要求
    if length(x_in) ~= length(y_in)
        error('输入的 x 和 y 向量长度不一致');
    end
    if ~(issorted(x_in))
        error('输入的 x 向量必须是单调递增的');
    end

    % 首先计算出每个区间的三个弯矩
    n = length(x_in);
    h = diff(x_in);
    delta = diff(y_in) ./ h;
    lambda = [0; h(1:n-2); 0];
    mu = [0; 2*(h(1:n-2) + h(2:n-1)); 0];
    phi = [0; 6*diff(delta); 0];

    % 利用三弯矩法求解系数矩阵的线性方程组
    A = spdiags([lambda mu lambda], [-1 0 1], n, n);
    M = A \ phi;

    % 对于每个区间，计算出其插值函数并拼接成整个函数
    x_out = x_in(1):0.01:x_in(end);
    y_out = zeros(size(x_out));
    for i = 1:n-1
        idx = (x_out >= x_in(i)) & (x_out <= x_in(i+1));
        xx = x_out(idx) - x_in(i);
        yy = (M(i) / (6*h(i))) .* xx.^3 + (M(i+1) / (6*h(i))) .* (h(i)-xx).^3 + ...
             (delta(i) - M(i)*(h(i)/6)) .* xx + (delta(i+1) - M(i+1)*(h(i)/6)) .* (h(i)-xx);
        y_out(idx) = yy;
    end
end

这个函数接受两个向量 `x_in` 和 `y_in` 作为输入，分别表示已知数据点的横坐标和纵坐标。函数会先检查输入向量的长度和单调性是否合法，然后计算每个区间的三个弯矩，再利用三弯矩法求解系数矩阵的线性方程组，最后对于每个区间，计算出其插值函数并拼接成整个函数。函数输出的 `x_out` 和 `y_out` 分别表示插值函数的横坐标和纵坐标，可以用来绘制插值曲线。