离散傅里叶的快速算法

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散时间信号从时域转换到频域的数学工具，它广泛应用于信号处理、图像分析和通信工程等领域。快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是DFT的一种高效计算方法，它大大减少了计算复杂度，特别是对于长序列。

FFT的核心思想是利用了信号在复平面上的对称性和周期性，将原问题分解成多个较小规模的子问题来计算。这种分解通常使用递归或分治策略，比如Cooley-Tukey算法是最常见的实现，它基于两个基本步骤：分治和结合。

1. 分治：将输入序列分为两半，分别计算它们的DFT，然后将结果相加（称为“蝴蝶”操作）。
2. 结合：将这两个较小规模的DFT合并，形成原始序列的DFT。

FFT的时间复杂度由原来的O(N^2)降低到了O(N log N)，其中N是输入序列的长度。这使得FFT在处理大量数据时效率显著提升。

相关问题：
1. FFT的具体优点是什么？
2. Cooley-Tukey算法是如何工作的？
3. FFT除了在信号处理中，还有哪些应用场景？