算法设计与分析动态规划法最长公共子序列问题

### 使用动态规划法求解最长公共子序列(LCS)问题的算法设计与分析

#### 动态规划方法概述
对于两个给定的序列X和Y，目标是找到这两个序列中最长的公共子序列。通过构建一个二维表`dp`来存储中间计算的结果可以有效地解决问题[^1]。

#### 定义状态变量
设输入序列为`A=a_1,a_2,...,a_m` 和 `B=b_1,b_2,...,b_n` ，创建大小为(m+1)*(n+1)的状态矩阵`dp[][]` 。这里`m`表示第一个字符串的长度而`n`代表第二个字符串的长度。此表格用于记录不同前缀组合下的最大匹配字符数[^3]。

#### 初始化边界条件
初始化时设置所有行首列以及第一行列元素均为零(`dp[i][0]=dp[0][j]=0`)，因为任意序列与空串之间的LCS显然为空串。

#### 填充DP Table
遍历整个二维数组并按照以下规则填充：

- 如果当前比较位置上的字符相等，则继承左上方格子加一后的值作为当前位置的新值:`dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1`;
- 否则取左侧或上侧较大者赋值给当前位置:`dp[i][j]=max(dp[i][j−1],dp[i−1][j])`。

def lcs_length(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)

    # 创建 DP 表
    dp = [[None]*(n + 1) for i in range(m + 1)]

    # 边界情况处理
    for i in range(m + 1):
        for j in range(n + 1):
            if i == 0 or j == 0 :
                dp[i][j] = 0
    
    # 构建 DP 表
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
    return dp[m][n]

#### 结果读取
最终得到的最大公共子序列长度保存于`dp[m][n]`处；要获取具体的子序列可以通过回溯上述填好的表格获得[^2]。