matlab化二次型为规范型(选做)----程序设计思路 理论指导：矩阵的合同变换法； 思路：标准递归V字循环，每一次根据不同的情况采取不同的方案来降阶。 在过程中，我们只需要把最底层到最上层的变换矩阵逐个补全相乘就能得到T矩阵。

程序设计思路：

1. 输入一个二次型Q(x)，表示为x^T*A*x+b^T*x+c（其中A为n阶对称矩阵，b和x为n维列向量，c为常数），以及n的值。

2. 对矩阵A进行特征分解，得到A的特征值和特征向量。

3. 根据特征值的符号，将特征向量分为正交的两组，一组对应正特征值，一组对应负特征值。

4. 将正特征值对应的特征向量单位化，得到正交矩阵P。

5. 将负特征值对应的特征向量单位化，得到正交矩阵Q。

6. 构造对角矩阵D，其主对角线上元素为特征值的绝对值，并按照正特征值、负特征值的顺序排列。

7. 根据矩阵合同变换法，得到A'=PDP^T。

8. 对于向量b，进行P、Q的分块运算，得到b1和b2。

9. 根据矩阵合同变换法，得到b'=Pb1。

10. 构造n维列向量x'=[y1;y2]，其中y1=P^Tx，y2=Q^Tx。

11. 将二次型Q(x)化为Q'(x')=y1^TD1y1-y2^TD2y2+b'^Ty1+c，其中D1为正特征值对应的特征值矩阵，D2为负特征值对应的特征值矩阵。

12. 输出Q'(x')，即为二次型Q(x)的规范形式。

代码实现：

function [D1, D2, P, Q, b1, c1] = quadratic_form(Q, n)
% 将二次型Q(x)化为规范形式
% 输入：Q为二次型，n为矩阵A的阶数
% 输出：D1和D2为特征值矩阵，P和Q为正交矩阵，b1和c1为向量

% 对矩阵A进行特征分解
[V, D] = eig(Q);
D = diag(D);

% 根据特征值的符号，将特征向量分为正交的两组
idx_positive = find(D > 0);
idx_negative = find(D < 0);
P = V(:, idx_positive);
Q = V(:, idx_negative);

% 将正特征值对应的特征向量单位化，得到正交矩阵P
for i = 1:length(idx_positive)
    P(:, i) = P(:, i) / norm(P(:, i));
end

% 将负特征值对应的特征向量单位化，得到正交矩阵Q
for i = 1:length(idx_negative)
    Q(:, i) = Q(:, i) / norm(Q(:, i));
end

% 构造对角矩阵D，按照正特征值、负特征值的顺序排列
D1 = diag(sort(D(idx_positive), 'descend'));
D2 = diag(sort(abs(D(idx_negative)), 'descend'));

% 计算变换后的向量b和常数项c
b = sym('b', [n, 1], 'real');
c = sym('c', 'real');
b1 = P' * b(idx_positive);
c1 = b(idx_negative)' * Q * P * Q' * b(idx_negative) + c;

% 输出规范形式
disp("规范二次型为：");
y1 = sym('y', [length(idx_positive), 1], 'real');
y2 = sym('u', [length(idx_negative), 1], 'real');
Q1 = y1' * D1 * y1;
Q2 = y2' * D2 * y2;
Q3 = b1' * y1;
Q4 = c1;
disp(Q1 + Q2 + Q3 + Q4);
end

注：此代码仅供参考，可能存在错误，请谨慎使用。