ode45求解变刚度阻尼双足机器人动力学方程，求其中某个参数对所有变量的偏导MATLAB

假设你已经编写好了变刚度阻尼双足机器人的动力学方程，并使用ode45求解。现在你想求其中某个参数对所有变量的偏导数，可以使用MATLAB的符号计算工具箱来实现。

首先，需要定义符号变量。假设你要求解的参数为p，可以使用下面的代码定义符号变量：

syms p

然后，将动力学方程表示为符号表达式形式。假设你的动力学方程为f(x,p)，其中x为状态向量，可以使用下面的代码将其表示为符号表达式：

syms x1 x2 ... xn
f = [f1(x1,x2,...,xn,p); f2(x1,x2,...,xn,p); ...; fn(x1,x2,...,xn,p)];

注意，f1、f2、...、fn为动力学方程中每个状态变量对应的函数表达式，可以根据实际情况进行定义。

接下来，可以使用MATLAB的diff函数求解偏导数。假设你要求解f对p的偏导数，可以使用下面的代码：

df_dp = diff(f,p);

此时，df_dp为一个与状态向量x维度相同的符号表达式向量，其中每个元素表示相应状态变量对p的偏导数。

如果你想将符号表达式转换为函数表达式，可以使用MATLAB的matlabFunction函数。假设你要将df_dp转换为函数句柄，可以使用下面的代码：

df_dp_func = matlabFunction(df_dp,'vars',{x,p});

此时，df_dp_func为一个函数句柄，可以输入状态向量x和参数p，输出对应的偏导数向量。

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ode45求解变刚度阻尼双足机器人动力学方程，求某个参数对所有变量求偏导MATLA

下面是MATLAB的代码：

function [dydx]=ode45_dynamics(x,y,m,lc,g,I,beta)

% x: independent variable (time)
% y: dependent variables (state variables)
% m: mass of each leg segment
% lc: length of each leg segment
% g: gravitational acceleration
% I: moment of inertia of each leg segment
% beta: stiffness and damping parameters

% Extract state variables
q1=y(1); q2=y(2); dq1=y(3); dq2=y(4);

% Compute mass matrix
M11=(m(1)+m(2))*lc(1)^2+m(2)*lc(2)^2+I(1)+I(2)+2*m(2)*lc(1)*lc(2)*cos(q2);
M12=m(2)*lc(2)^2+I(2)+m(2)*lc(1)*lc(2)*cos(q2);
M21=M12;
M22=m(2)*lc(2)^2+I(2);

% Compute Coriolis and centrifugal terms
C1=-m(2)*lc(1)*lc(2)*(2*dq1*dq2+dq2^2)*sin(q2);
C2=m(2)*lc(1)*lc(2)*dq1^2*sin(q2);
C=[C1; C2];

% Compute gravity term
G=[-(m(1)+m(2))*g*lc(1)*sin(q1)-m(2)*g*lc(2)*sin(q1+q2); -m(2)*g*lc(2)*sin(q1+q2)];

% Compute stiffness and damping terms
K=[-beta(1) 0; 0 -beta(2)];
B=[-beta(3) 0; 0 -beta(4)];

% Compute state derivatives
dydx=zeros(4,1);
dydx(1)=dq1;
dydx(2)=dq2;
dydx(3:4)=inv([M11 M12; M21 M22])*(-[C; G]+K*[q1;q2]+B*[dq1;dq2]);

% Compute partial derivatives
dM11dq1=-2*m(2)*lc(1)*lc(2)*sin(q2)*dq2;
dM11dq2=-m(2)*lc(1)*lc(2)*sin(q2)*dq1;
dM12dq1=m(2)*lc(1)*lc(2)*sin(q2)*dq2;
dM12dq2=m(2)*lc(2)*sin(q2)*dq1;
dM21dq1=dM12dq1;
dM21dq2=dM12dq2;
dM22dq1=0;
dM22dq2=0;

dC1dq1=-m(2)*lc(1)*lc(2)*dq2^2*cos(q2);
dC1dq2=-m(2)*lc(1)*lc(2)*(2*dq1+dq2)*cos(q2);
dC2dq1=m(2)*lc(1)*lc(2)*dq1*cos(q2);
dC2dq2=0;

dG1dq1=-(m(1)+m(2))*g*lc(1)*cos(q1)-m(2)*g*lc(2)*cos(q1+q2);
dG1dq2=-m(2)*g*lc(2)*cos(q1+q2);
dG2dq1=0;
dG2dq2=-m(2)*g*lc(2)*cos(q1+q2);

dKdq1=[-1 0; 0 0];
dKdq2=[0 0; 0 -1];

dBdq1=[0 0; 0 0];
dBdq2=[0 0; 0 0];

dFdq1=inv([M11 M12; M21 M22])*(-[dC1dq1 dC1dq2; dC2dq1 dC2dq2]+dKdq1*[q1;q2]+dBdq1*[dq1;dq2]);
dFdq2=inv([M11 M12; M21 M22])*(-[dC1dq1 dC1dq2; dC2dq1 dC2dq2]+dKdq2*[q1;q2]+dBdq2*[dq1;dq2]);

dfdx=[0 0 1 0; 0 0 0 1; dFdq1(1) dFdq2(1) 0 0; dFdq1(2) dFdq2(2) 0 0];

其中，输入参数为：

- `x`：独立变量（时间）；
- `y`：依赖变量（状态变量），其中 `y(1)` 和 `y(2)` 分别表示两条腿的关节角度，`y(3)` 和 `y(4)` 分别表示两条腿的关节角速度；
- `m`：每个腿段的质量；
- `lc`：每个腿段的长度；
- `g`：重力加速度；
- `I`：每个腿段的转动惯量；
- `beta`：刚度和阻尼参数。

其中，`dydx` 表示状态变量的导数，`dfdx` 表示状态变量导数对参数的偏导数。

ode45求解变刚度阻尼双足机器人动力学方程，求某个变量对所有变量求偏导MATLA

B中的每个元素分别对应A中的每个元素，且B的行数和列数与A相同，可以使用下面的代码实现：

syms q1 q2 q3 q4 dq1 dq2 dq3 dq4 ddq1 ddq2 ddq3 ddq4 m1 m2 I1 I2 l1 l2 g real
% 定义机器人的动力学方程
M = [m1*l1^2 + m2*(l1^2+2*l1*l2*cos(q2)+l2^2) + I1 + I2, m2*l2^2+2*m2*l1*l2*cos(q2)+I2, 0, 0;
    m2*l2^2+2*m2*l1*l2*cos(q2)+I2, m2*l2^2+I2, 0, 0;
    0, 0, m1+m2, m2*l1*cos(q2);
    0, 0, m2*l1*cos(q2), m2];
C = [-m2*l1*l2*sin(q2)*(2*dq1*dq2+dq2^2);
    m2*l1*l2*sin(q2)*dq1^2;
    -m2*l1*l2*sin(q2)*dq1^2;
    0];
G = [(m1+m2)*g*l1*cos(q1) + m2*g*l2*cos(q1+q2);
    m2*g*l2*cos(q1+q2);
    -m2*g*l1*sin(q1) - m2*g*l2*sin(q1+q2);
    0];
f = [ddq1; ddq2; ddq3; ddq4];
tau = [0; 0; 0; 0];

% 求解动力学方程的加速度
ddq = M\(tau - C - G);

% 定义要求偏导的变量
syms p
vars = [q1, q2, q3, q4, dq1, dq2, dq3, dq4, ddq1, ddq2, ddq3, ddq4, p];

% 计算每个变量对p的偏导数
jac = jacobian(ddq, vars);
dpdq = jac(:, end); % 取出p对应的列向量

其中，`jac` 是一个 4x13 的矩阵，每一行代表 `ddq` 中的一个元素对所有变量的偏导数，`dpdq` 是 `p` 对所有变量的偏导数构成的列向量。