用MATLAB用分步傅里叶法数值求解非线性薛定谔方程

非线性薛定谔方程(NLSE)是一个重要的非线性偏微分方程，它在量子力学、光学、气体动力学等领域有广泛的应用。下面是用MATLAB用分步傅里叶法数值求解非线性薛定谔方程的大致步骤：

1. 确定非线性薛定谔方程的初值问题，即初始时刻的波函数和势能函数。

2. 采用分步傅里叶法对非线性薛定谔方程进行数值求解。分步傅里叶法是将求解区域分成若干个小区域，每个小区域内采用傅里叶变换对波函数进行数值求解，再将各个小区域的波函数拼接在一起得到整个求解区域的波函数。

3. 通过离散化的方式将非线性薛定谔方程转化为一个常微分方程组，然后采用常微分方程数值求解器求解。

4. 根据得到的波函数和势能函数，计算出其他物理量如准动量、概率密度等。

下面是MATLAB的代码示例：

% 定义非线性薛定谔方程的初始条件
L = 20; % 求解区间长度
N = 512; % 离散化点数
x = linspace(-L/2, L/2, N); % x轴坐标点
dx = x(2)-x(1); % 离散化步长
dt = 0.01; % 时间步长
t = 0:dt:10; % 时间轴坐标点
v = exp(-x.^2); % 初始波函数
V = 0.5*x.^2; % 势能函数
gamma = 1;

% 采用分步傅里叶法求解非线性薛定谔方程
for n = 1:length(t)
    % 计算哈密顿量
    H = -(1/2)*fftshift(fftn(v))./(dx^2) + V.*v + gamma*abs(v).^2.*v;
    % 采用快速傅里叶逆变换计算波函数
    v = ifft(ifftshift(exp(-1i*H*dt)).*fft(fftshift(v)));
    % 绘制波函数动态演化图像
    plot(x, abs(v).^2);
    xlim([-L/2, L/2]);
    ylim([0, 1]);
    drawnow;
end

其中，`fft`和`ifft`分别表示快速傅里叶变换和快速傅里叶逆变换。`fftshift`和`ifftshift`分别表示傅里叶变换和傅里叶逆变换的频率轴移位操作，用于消除频谱的直流分量和将频率轴中心移到零点。`abs`表示求取波函数的模值。