c++利用LU分解求稀疏矩阵方程组

LU分解是一种求解线性方程组的常见方法，可以将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。对于稀疏矩阵，我们可以使用稀疏矩阵存储格式来进行LU分解。

以下是C++代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义稀疏矩阵元素类型
struct SparseMatrixElement {
    int row; // 行号
    int col; // 列号
    double val; // 值
};

// 定义稀疏矩阵类型
class SparseMatrix {
public:
    int n; // 矩阵维数
    vector<SparseMatrixElement> elements; // 非零元素列表

    // 构造函数
    SparseMatrix(int n) : n(n) {}

    // 设置元素值
    void set(int row, int col, double val) {
        // 如果元素值为0，不加入非零元素列表
        if (val != 0) {
            SparseMatrixElement element = { row, col, val };
            elements.push_back(element);
        }
    }

    // 获取元素值
    double get(int row, int col) const {
        // 在非零元素列表中查找元素
        for (int i = 0; i < elements.size(); i++) {
            if (elements[i].row == row && elements[i].col == col) {
                return elements[i].val;
            }
        }
        return 0;
    }

    // LU分解
    void luDecompose() {
        // 初始化L和U矩阵
        SparseMatrix L(n), U(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            L.set(i, i, 1);
            U.set(i, i, get(i, i));
        }

        // 分解过程
        for (int k = 0; k < n - 1; k++) {
            // 找到主元素
            int p = k;
            for (int i = k + 1; i < n; i++) {
                if (abs(get(i, k)) > abs(get(p, k))) {
                    p = i;
                }
            }

            // 交换行
            if (p != k) {
                for (int j = k; j < n; j++) {
                    double temp = get(k, j);
                    set(k, j, get(p, j));
                    set(p, j, temp);
                }
            }

            // 更新L和U矩阵
            for (int i = k + 1; i < n; i++) {
                double m = get(i, k) / get(k, k);
                L.set(i, k, m);
                for (int j = k + 1; j < n; j++) {
                    double newVal = get(i, j) - m * get(k, j);
                    set(i, j, newVal);
                }
            }
        }

        // 输出结果
        cout << "L matrix:" << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                cout << L.get(i, j) << " ";
            }
            cout << endl;
        }
        cout << "U matrix:" << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                cout << U.get(i, j) << " ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
};

int main() {
    // 创建稀疏矩阵
    SparseMatrix A(3);
    A.set(0, 0, 2);
    A.set(0, 1, 1);
    A.set(1, 0, 4);
    A.set(1, 1, -6);
    A.set(1, 2, 3);
    A.set(2, 1, 2);
    A.set(2, 2, -1);

    // 进行LU分解
    A.luDecompose();

    return 0;
}

上述代码中，我们首先定义了稀疏矩阵元素的结构体类型和稀疏矩阵类型，其中稀疏矩阵类型包含了矩阵维数和非零元素列表。我们通过set方法设置元素值，通过get方法获取元素值。

在LU分解过程中，我们首先初始化L和U矩阵，然后进行分解过程。在分解过程中，我们通过找到主元素来交换行，然后更新L和U矩阵。最后输出L和U矩阵的结果。

需要注意的是，由于LU分解过程中会修改原始矩阵的值，因此我们在set方法中需要判断元素值是否为0，并且在更新矩阵元素值时使用set方法而不是直接修改。