matlab差分法求解偏微分方程的例子

好的，以下是一个使用差分法求解偏微分方程的 Matlab 例子：

假设要求解如下的二维热传导方程（Heat Equation）：

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$

其中，$u(x,y,t)$ 是温度分布，$\alpha$ 是热扩散系数。

使用差分法离散化后，可以得到如下的数值解：

$u^{n+1}_{i,j} = u^n_{i,j} + \frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}(u^n_{i+1,j} - 2u^n_{i,j} + u^n_{i-1,j}) + \frac{\alpha \Delta t}{(\Delta y)^2}(u^n_{i,j+1} - 2u^n_{i,j} + u^n_{i,j-1})$

其中，$u^n_{i,j}$ 表示在时间 $t_n$、位置 $(x_i,y_j)$ 处的温度值，$\Delta t$、$\Delta x$、$\Delta y$ 分别是时间步长、横向和纵向空间步长。

下面是一个简单的 Matlab 代码，用来求解上述方程的数值解：

% 设置初始条件和参数
Lx = 1; Ly = 1;             % 区域大小
Nx = 101; Ny = 101;         % 空间分辨率
dx = Lx/(Nx-1); dy = Ly/(Ny-1);  % 空间步长
x = linspace(0,Lx,Nx); y = linspace(0,Ly,Ny);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
T = 0.1;                    % 总时间
Nt = 1001;                  % 时间分辨率
dt = T/(Nt-1);              % 时间步长
alpha = 1;                  % 热扩散系数
u = zeros(Nx,Ny);           % 初始温度分布
u(25:75,25:75) = 1;         % 矩形区域内初始温度为1
un = u;                     % 时间步n的温度分布
% 进行时间迭代
for n = 1:Nt
    u(2:Nx-1,2:Ny-1) = un(2:Nx-1,2:Ny-1) + alpha*dt/dx^2*(un(3:Nx,2:Ny-1)-2*un(2:Nx-1,2:Ny-1)+un(1:Nx-2,2:Ny-1)) + alpha*dt/dy^2*(un(2:Nx-1,3:Ny)-2*un(2:Nx-1,2:Ny-1)+un(2:Nx-1,1:Ny-2));
    un = u;
end
% 绘图
surf(X,Y,u);
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('u');

这个例子中，我们设置了一个 $101 \times 101$ 的区域，在其中心区域设置了一个初始温度为 $1$ 的正方形。通过迭代求解，可以得到该区域中的温度分布随时间的变化情况。