允许假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数

如果允许假设白噪声序列指的是线性不相关的序列，那么我们需要重新定义白噪声序列的性质和概念。在这种情况下，白噪声序列的均值为常数，但方差可以是时间相关的，因此不一定是常数。

在这种情况下，$(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得 $Z_t$ 的方差随时间变化，而不一定是常数。因此，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。但是，当 $Z_t$ 取较小的值时，$(\mathrm{ARCH})$ 模型会近似于平稳的 ARMA 模型，因此可以使用 ARMA 模型来描述 $Z_t$。

对于 $X_t=Z_t^2$，由于 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得 $X_t$ 的方差随时间变化，因此 $X_t$ 不是 ARMA 模型。但是，我们可以将 $(\mathrm{ARCH})$ 模型转化为一个 ARCH(2) 模型，即

$$X_t = a_t^2 (1+0.5 X_{t-1}+0.3 X_{t-2})$$

因此，$X_t$ 是一个 ARCH(2) 模型，而不是 ARMA 模型。此外，$X_t$ 的均值也是时间相关的，因此不是常数。

相关问题

令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。

(a) $Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 ARMA 模型需要满足平稳性和有界自协方差函数，而 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。

但是，当 $Z_t$ 取较小的值时，$(\mathrm{ARCH})$ 模型会近似于平稳的 ARMA 模型，因此可以使用 ARMA 模型来描述 $Z_t$。

(b) 由于 $X_t = Z_t^2$，因此可以将 $(\mathrm{ARCH})$ 模型转化为一个 ARCH(2) 模型，即

$$X_t = a_t^2 (1+0.5 X_{t-1}+0.3 X_{t-2})$$

因此，$X_t$ 是一个 ARCH(2) 模型，而不是 ARMA 模型。这是因为 $X_t$ 的均值和方差都是时间相关的，而 ARMA 模型中的均值和方差都是常数。

(c) 由于 $(\mathrm{ARCH})$ 模型是一个 ARCH(2) 模型，因此 $X_t$ 的自相关系数可以用 ARCH(2) 模型的自相关系数公式进行计算：

$$\rho_k = \frac{0.5\theta_1^k + 0.3\theta_2^k}{1 + 0.5\theta_1^2 + 0.3\theta_2^2}$$

其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 是 ARCH(2) 模型的参数。根据 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的参数，我们可以计算出 $\theta_1=0.5$ 和 $\theta_2=0.3$。将其代入上式，我们可以得到 $X_t$ 的自相关系数：

$$\rho_1 = \frac{0.5\times0.5 + 0.3\times0.3}{1 + 0.5\times0.5 + 0.3\times0.3} \approx 0.44$$

$$\rho_2 = \frac{0.5^2\times0.5 + 0.3^2\times0.3}{1 + 0.5\times0.5 + 0.3\times0.3} \approx 0.26$$

$$\rho_k = 0, k \geq 3$$

因此，$X_t$ 的自相关系数是拖尾的，即只有前两个系数显著不为零。

如何生成指定均值和方差的噪声序列

要生成具有指定均值和方差的噪声序列，可以使用以下方法之一：

1. 高斯白噪声：高斯白噪声是一种具有零均值和指定方差的随机信号。可以使用均值为0，方差为所需方差的高斯分布随机数生成器来生成高斯白噪声序列。

2. 均匀分布噪声：如果所需的噪声序列是均匀分布的，可以使用均匀分布随机数生成器来生成具有指定均值和方差的噪声序列。可以通过线性变换将均匀分布映射到所需的范围。

3. ARMA模型：如果需要生成具有特定均值和方差的自回归滑动平均（ARMA）噪声序列，可以使用ARMA模型进行生成。通过调整ARMA模型的参数，可以得到具有所需均值和方差的噪声序列。

4. 混合噪声模型：如果所需的噪声序列具有复杂的分布特征，可以考虑使用混合噪声模型。混合噪声模型是由多个分量组成的噪声模型，每个分量具有不同的均值和方差。可以通过调整每个分量的权重来生成具有指定均值和方差的噪声序列。

需要根据具体的要求和应用场景选择适当的方法来生成具有指定均值和方差的噪声序列。