假设随机变量X~N(2，4)，用MC法估计EX4并用对偶变量法进行改进，编写程序进行计算并与其精确值进行比较。

要使用蒙特卡洛(MC)方法估计随机变量X~N(2, 4)的期望E[X^4]，以及使用对偶变量法进行改进，您可以按照以下步骤进行操作：

首先，我们知道X的概率密度函数是正态分布N(2, 4)，即X~N(2, 4)。我们可以使用这个概率密度函数来生成随机样本。

然后，我们使用MC方法来估计期望E[X^4]。具体地，我们生成大量的随机样本，并计算每个样本的X^4的值。将所有样本的X^4值相加，并除以样本数量，即可得到E[X^4]的估计值。

接下来，我们使用对偶变量法对估计值进行改进。对偶变量法基于重要性采样思想，通过引入一个辅助变量Y，并构造一个新的期望E[Y]，使得其方差最小。然后利用所得的最优辅助变量Y来改进原始估计。

以下是使用Python代码实现MC方法和对偶变量法计算E[X^4]并与其精确值进行比较的示例：

import numpy as np

# 设置参数
mean = 2
std_dev = 2  # 方差为标准差的平方

# 定义概率密度函数
def pdf(x):
    return 1 / (np.sqrt(2 * np.pi * std_dev**2)) * np.exp(-(x - mean)**2 / (2 * std_dev**2))

# 定义要计算的函数
def function(x):
    return x**4

# 使用MC方法估计E[X^4]
num_samples = 1000000
samples = np.random.normal(mean, std_dev, num_samples)
monte_carlo_estimate = np.mean(function(samples))

# 使用对偶变量法改进估计值
# 定义辅助变量的概率密度函数
def auxiliary_pdf(y):
    return 1 / (np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(-y**2 / 2)

# 计算辅助变量的函数
def auxiliary_function(y):
    return (function(y) * pdf(y)) / auxiliary_pdf(y)

# 生成辅助变量的样本
auxiliary_samples = np.random.normal(0, 1, num_samples)
dual_variable_estimate = np.mean(auxiliary_function(auxiliary_samples))

# 计算精确值
exact_value = np.sum(function(samples) * pdf(samples)) / np.sum(pdf(samples))

# 输出结果
print("MC方法估计的E[X^4]：", monte_carlo_estimate)
print("对偶变量法改进后的估计值：", dual_variable_estimate)
print("精确值：", exact_value)

在上述代码中，我们首先设置了随机变量X的均值和标准差。

然后，我们定义了X的概率密度函数`pdf`和要计算的函数`function`。

接下来，我们使用MC方法生成了大量的随机样本，并计算了X^4的值。将所有样本的X^4值相加，并除以样本数量，得到MC方法估计的E[X^4]。

然后，我们使用对偶变量法引入了一个辅助变量Y，并定义了辅助变量的概率密度函数`auxiliary_pdf`和函数`auxiliary_function`。然后生成了辅助变量的样本，并计算了对偶变量法改进后的估计值。

最后，我们计算了E[X^4]的精确值，通过使用样本的X^4值和其对应的概率密度函数进行加权平均。

请注意，由于使用了随机数生成器，每次运行代码都会得到不同的结果。因此，估计值和精确值可能会有所不同。