matlab实现基于零空间的伪逆法
时间: 2023-12-10 17:04:22 浏览: 53
基于零空间的伪逆法(Null Space Pseudo-Inverse Method)可以用来求解线性方程组 $Ax=b$ 的最小二乘解。该方法的思路是先求出 $A$ 的零空间 $N(A)$,然后将 $N(A)$ 中的向量作为 $A$ 的伪逆矩阵 $A^+$ 的列向量,最终得到 $x=A^+b$。下面介绍如何用 MATLAB 实现该方法。
假设 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵,其中 $m>n$,则可以通过 MATLAB 自带的 svd 函数求出 $A$ 的奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$。其中,$U$ 是 $m\times m$ 的酉矩阵,$\Sigma$ 是 $m\times n$ 的非负对角矩阵,$V$ 是 $n\times n$ 的酉矩阵。
接下来,可以通过 $\Sigma$ 构造出 $A$ 的伪逆矩阵 $A^+$,具体地,当 $\Sigma_{ii}>0$ 时,$A^+_{ii}=1/\Sigma_{ii}$,否则 $A^+_{ii}=0$。将 $A^+$ 的列向量设置为 $N(A)$ 的基向量即可。
下面是 MATLAB 的实现代码:
```matlab
function x = null_space_pseudo_inverse(A, b)
[U, S, V] = svd(A);
S_pinv = zeros(size(A'));
for i = 1:min(size(A))
if S(i, i) > 0
S_pinv(i, i) = 1/S(i, i);
end
end
A_pinv = V * S_pinv' * U';
x = A_pinv * b;
end
```
其中,A 和 b 分别是方程组 $Ax=b$ 的系数矩阵和常数向量。函数的输出是方程组的最小二乘解 $x$。
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