算法导论 — 思考题15-4 整齐打印

思考题15-4 整齐打印是一个经典的动态规划问题。这个问题的描述是：给定一个由 $n$ 个单词组成的序列 $W$，其中每个单词的长度为 $l_i$，要把这个序列排成若干行，每行至多 $M$ 个字符，且相邻两行之间留有一个空格。我们定义一行的“坏处”为这一行中所有单词长度加上空格数量与 $M$ 的差值的平方和，而所有行的“坏处”之和则是各行“坏处”之和。要求找出一种最优排列方法，使得所有行的“坏处”之和最小。

这个问题可以使用动态规划算法求解，可以定义 $c[i][j]$ 表示将单词 $i$ 到单词 $j$ 放在同一行所需要的最小“坏处”值。则，对于 $c[i][j]$，可以考虑所有可能的行尾位置 $k$，并选择其中“坏处”值最小的一种方法，即：

$$
c[i][j] = \min_{k=i}^j(c[i][k-1] + c[k][j] + pen(i,j,k))
$$

其中 $pen(i,j,k)$ 表示在第 $k$ 个单词后面放置一个空格所造成的“坏处”，即 $(M-j+i-k-1)^2$。最终，整个序列的最小“坏处”值可以通过 $c[1][n]$ 计算得到。

下面给出一个实现动态规划算法求解该问题的Python代码：

相关问题

算法导论思考题4-3 i

算法导论思考题4-3 i是关于图的最长路径问题（Path Length Problem）。
最长路径问题是寻找一个无向图中两个顶点之间最长的路径，其中路径的长度由路径上边的数量决定。

对于这个问题，我可以提供一个简单的解决方案。我们可以使用深度优先搜索（DFS）算法来解决此问题。具体步骤如下：

1. 选择一个起始顶点，并记录最长路径的长度为0。
2. 遍历与该顶点相邻的所有顶点。
3. 对于每个相邻顶点，如果该顶点未被访问过，则递归地执行步骤2和步骤3。
4. 在递归的过程中，通过比较当前路径的长度与最长路径的长度，来更新最长路径的长度。
5. 最终，返回最长路径的长度。

这个算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V表示顶点的数量，E表示边的数量。
由于题目没有给出具体的图的表示方法，如果使用邻接矩阵来表示图，那么空间复杂度为O(V^2)。

需要注意的是，这个算法仅仅返回最长路径的长度，并没有返回具体的路径。如果需要获取具体的路径信息，可以在递归的过程中，记录每个顶点的前驱顶点，从而构造出最长路径。

综上所述，以上是关于算法导论思考题4-3 i的回答。希望能对您有所帮助！

算法导论 贪心算法思考题16-2a

题目16-2a是这样的：证明或者提出反例表明：如果活动按结束时间非减序排列，则贪心算法总是产生一个最优解。

贪心算法是一种通过每一步选择局部最优解从而期望最终得到全局最优解的算法。对于活动安排问题，贪心算法根据活动的结束时间进行排序，然后选择不冲突的活动中结束时间最早的活动放入最优解中。

要证明在活动按结束时间非减序排列的情况下贪心算法总是产生一个最优解，可以采用反证法。假设贪心算法产生的解不是最优解，即存在另一种安排活动的方案能够得到更多的活动数。首先，我们可以证明在最优解中活动按结束时间也是非减序排列的，因为如果出现结束时间不满足非减序排列，那么可以通过交换活动的顺序来得到更多的不冲突活动，从而得出矛盾。其次，如果存在另一种安排活动的方案能够得到更多的活动数，那么必定会与原贪心算法产生的解产生矛盾，因为贪心算法产生的解已经是按照结束时间排列中能够得到的最多活动。

因此，证明了在活动按结束时间非减序排列的情况下贪心算法总是产生一个最优解。因为贪心算法的简单和高效，在实际应用中也有着很高的价值。