算法导论 — 思考题15-4 整齐打印

思考题15-4 整齐打印是一个经典的动态规划问题。这个问题的描述是：给定一个由 $n$ 个单词组成的序列 $W$，其中每个单词的长度为 $l_i$，要把这个序列排成若干行，每行至多 $M$ 个字符，且相邻两行之间留有一个空格。我们定义一行的“坏处”为这一行中所有单词长度加上空格数量与 $M$ 的差值的平方和，而所有行的“坏处”之和则是各行“坏处”之和。要求找出一种最优排列方法，使得所有行的“坏处”之和最小。

这个问题可以使用动态规划算法求解，可以定义 $c[i][j]$ 表示将单词 $i$ 到单词 $j$ 放在同一行所需要的最小“坏处”值。则，对于 $c[i][j]$，可以考虑所有可能的行尾位置 $k$，并选择其中“坏处”值最小的一种方法，即：

$$
c[i][j] = \min_{k=i}^j(c[i][k-1] + c[k][j] + pen(i,j,k))
$$

其中 $pen(i,j,k)$ 表示在第 $k$ 个单词后面放置一个空格所造成的“坏处”，即 $(M-j+i-k-1)^2$。最终，整个序列的最小“坏处”值可以通过 $c[1][n]$ 计算得到。

下面给出一个实现动态规划算法求解该问题的Python代码：