已知一个向量a,求过一点平行于向量a的向量

假设向量a的坐标为(a1, a2, a3)，过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a的向量为b，那么向量b的坐标为(b1, b2, b3)。

根据向量的平行性质，向量a与向量b平行，所以向量a与向量b的叉积为0。即：

a × b = 0

根据叉积的计算公式，可得：

a1 * b2 - a2 * b1 = 0
a1 * b3 - a3 * b1 = 0
a2 * b3 - a3 * b2 = 0

解以上方程组，可得：

b1 = k * a1
b2 = k * a2
b3 = k * a3

其中k为任意常数。

因此，过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a的向量为b(k * a1, k * a2, k * a3)，其中k为任意常数。

相关问题

已知一个向量，求其垂直向量

对于一个向量a，其垂直向量b可以通过以下步骤求得：

1. 对a取任意一个非零向量c作为参考向量，可以选择坐标轴上的单位向量或者任意不与a共线的向量。

2. 计算a和c的点积（内积），记为a·c。

3. 将c乘以a·c，得到一个与a相同方向的向量d。

4. 计算b = a - d，b就是a的垂直向量。

具体地，可以使用以下公式计算：

b = a - ((a·c) / (c·c)) * c

其中，a·c表示a和c的点积，c·c表示c的长度的平方。注意，如果c是单位向量，则c·c=1，此时公式可以简化为：

b = a - (a·c) * c

以上公式适用于二维和三维向量。在高维空间中，需要使用正交化方法来求解垂直向量。

已知一个向量及夹角 求另一个向量

可以利用向量的基本运算和三角函数来求解。

假设已知向量 $\vec{a}$ 和夹角 $\theta$，要求另一个向量 $\vec{b}$。

首先，根据向量的长度和方向可以用极坐标表示向量：

$$
\vec{a} = a\cos \alpha \vec{i} + a\sin \alpha \vec{j} = (a,\alpha)
$$

其中 $\alpha$ 是向量与 $x$ 轴正方向的夹角。

由于向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 夹角为 $\theta$，因此可以得到：

$$
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$

其中 $\cdot$ 表示向量的点积运算。注意到向量 $\vec{a}$ 已知，因此可以求得 $|\vec{a}|$ 和 $\alpha$。又因为向量 $\vec{b}$ 的长度也是未知的，因此可以设向量 $\vec{b}$ 的极坐标表示为 $(b,\beta)$，代入上式得到：

$$
\cos \theta = \frac{a\cos \alpha \cdot b\cos \beta + a\sin \alpha \cdot b\sin \beta}{ab}
$$

化简后可得：

$$
\cos \theta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$

利用三角函数的和角公式，可以得到：

$$
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$

因此，可以得到：

$$
\cos (\alpha - \beta) = \cos \theta
$$

由此可以解出 $\beta$：

$$
\beta = \alpha \pm \arccos \cos \theta
$$

注意到 $\cos \theta$ 的值域为 $[-1,1]$，因此 $\arccos$ 的值域为 $[0,\pi]$。根据向量的几何意义，可以确定 $\beta$ 的正负号：

- 当 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角小于 $180^\circ$ 时，$\beta = \alpha + \arccos \cos \theta$。
- 当 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角大于 $180^\circ$ 时，$\beta = \alpha - \arccos \cos \theta$。

最后，利用向量的极坐标表示，可以得到向量 $\vec{b}$ 的笛卡尔坐标表示：

$$
\vec{b} = b\cos \beta \vec{i} + b\sin \beta \vec{j} = (b\cos \beta, b\sin \beta)
$$

这样就求得了向量 $\vec{b}$。