三角形脉冲信号频谱函数

### 三角形脉冲信号的频谱函数

对于一个周期性的三角形脉冲信号，其时间域表达式可以通过定义脉宽 \(\tau\) 和周期 \(T\) 来描述。假设这个三角波在一个周期内的幅度线性上升到最大值然后再线性下降回到零。

#### 频谱函数公式

三角形脉冲信号的频谱可以用傅里叶级数展开来表示：

\[ X(f) = |X_n| e^{j\phi_n} = A \frac{\sin^2 (\pi f T)}{(\pi f)^2} \]

其中，
- \(A\) 是峰值幅度；
- \(f\) 表示频率变量；
- \(T\) 是脉冲序列的时间周期；

上述公式的推导基于对原始时域信号应用傅立叶变换得出[^1]。

#### 推导过程

为了获得此结果，考虑先写出单个周期内三角波的具体形式，并对其执行积分运算完成傅里叶变换:

设有一个单位高度、宽度为 \(\tau\) 的理想三角波，则有：

\[ x(t)=\begin{cases}
\dfrac{t}{\tau}, & -\dfrac{\tau}{2}\leq t<0\\
-\dfrac{t}{\tau}+1, & 0\leq t<\dfrac{\tau}{2}\\
0,& otherwise
\end{cases}

接着对该函数做连续时间傅里叶变换(CTFT)，即求解如下积分：

\[ X(jw_c)=\int_{-\infty}^\infty{x(t)e^{-jwt}}dt=\int_{-\tau/2}^0 {\left(\dfrac{t}{\tau}\right)e^{-jwt}} dt \]

通过计算这两个定积分并简化可得最终的结果，这涉及到一些复杂的数学操作，包括部分分式分解以及使用欧拉公式将正弦余弦转换成复指数形式以便于进一步处理[^3]。

from sympy import symbols, integrate, exp, pi, sin

# 定义符号变量
t, w, tau = symbols('t w tau')

# 计算两个区间的积分之和
integral_part1 = integrate((t / tau)*exp(-1j*w*t), (t, -tau/2, 0))
integral_part2 = integrate((-t / tau + 1)*exp(-1j*w*t), (t, 0, tau/2))

# 合并两部分得到完整的傅里叶变换结果
fourier_transform_result = integral_part1 + integral_part2
print(fourier_transform_result.simplify())