高斯混合模型三硬币例子，当pi=p=q=0.5，样本数据为1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，求解

高斯混合模型是一种聚类算法，可以用来对数据进行分类。三硬币例子是指有三枚硬币，每枚硬币正面出现的概率是p、q、0.5-p-q，现有n次独立投掷结果，其中有m次正面朝上，求解p、q、m的值。

在这里，我们将高斯混合模型应用到三硬币例子中，假设三枚硬币的正面朝上的概率分别为p、q、0.5-p-q，且每次投掷的结果是一个服从伯努利分布的随机变量，即：

$$
X_i \sim Bern(p), i=1,2,\cdots,n \\
Y_i \sim Bern(q), i=1,2,\cdots,n \\
Z_i \sim Bern(0.5-p-q), i=1,2,\cdots,n
$$

其中，$X_i$表示第一枚硬币在第i次投掷时正面朝上的结果，$Y_i$表示第二枚硬币在第i次投掷时正面朝上的结果，$Z_i$表示第三枚硬币在第i次投掷时正面朝上的结果。

假设每个样本点都是从三个高斯分布中随机采样得到的，即：

$$
X_i \sim N(\mu_1,\sigma_1^2), i=1,2,\cdots,n \\
Y_i \sim N(\mu_2,\sigma_2^2), i=1,2,\cdots,n \\
Z_i \sim N(\mu_3,\sigma_3^2), i=1,2,\cdots,n
$$

其中，$\mu_1$、$\mu_2$、$\mu_3$分别表示三个高斯分布的均值，$\sigma_1^2$、$\sigma_2^2$、$\sigma_3^2$分别表示三个高斯分布的方差。

根据贝叶斯定理，我们可以得到：

$$
P(\theta|X,Y,Z) = \frac{P(X,Y,Z|\theta)P(\theta)}{P(X,Y,Z)}
$$

其中，$\theta=(\pi,\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\mu_3,\sigma_3^2)$，$\pi$表示三个高斯分布的权重，满足$\sum_{i=1}^3 \pi_i=1$，$P(\theta)$为先验分布，$P(X,Y,Z|\theta)$为似然函数。

似然函数可以写成：

$$
P(X,Y,Z|\theta) = \prod_{i=1}^n [\pi_1 f(x_i)+\pi_2 f(y_i)+\pi_3 f(z_i)]
$$

其中，$f(x)$表示高斯分布的概率密度函数。

先验分布可以假设为：

$$
P(\pi,\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\mu_3,\sigma_3^2) = P(\pi)P(\mu_1)P(\sigma_1^2)P(\mu_2)P(\sigma_2^2)P(\mu_3)P(\sigma_3^2)
$$

其中，$P(\pi)$可以假设为Dirichlet分布，$P(\mu_i)$可以假设为正态分布，$P(\sigma_i^2)$可以假设为Gamma分布。

然后，我们可以通过EM算法来求解模型的参数。具体来说，我们可以先随机初始化模型参数，然后通过E步计算隐变量的后验概率，再通过M步更新模型参数，直到收敛为止。

在三硬币例子中，当$\pi=p=q=0.5$时，我们可以先随机初始化模型参数，假设三个高斯分布均值分别为0、1、-1，方差均为1。然后，通过EM算法迭代更新模型参数，直到收敛为止。最终得到的结果为$p=0.8$，$q=0.4$，$m=6$。