b样条和三次样条_B样条(贝塞尔曲线和b样条曲线)

B样条和三次样条都是在计算机图形学中常用的曲线插值算法，用于生成平滑的曲线。

B样条曲线是一种基于贝塞尔曲线的插值算法，其基本思想是将曲线分段拟合，每个小段用一个B样条函数来表示。B样条曲线的优点在于它具有良好的局部控制性，即只要改变某个小段的控制点，只有该小段的形状会随之改变，对其他部分没有影响。因此，B样条曲线在计算机辅助设计中得到了广泛应用。

三次样条曲线是另一种插值算法，其基本思想是用一些三次多项式函数拼接成整个曲线。与B样条曲线不同的是，三次样条曲线在整个曲线上具有良好的整体性质，即整个曲线的形状受控制点的影响比较均衡。因此，三次样条曲线在一些需要整体控制曲线形状的场合中得到了广泛应用。

在实际应用中，B样条和三次样条都有其适用的场合，具体选择哪种算法取决于问题的具体情况。

相关问题

4.5先大致画出逼近图 4-51示特征多边形的三次B样条曲线，然后，利用B样条曲线的特殊设计技巧，大致画出逼近该特征多边形的三次B样条曲线，使得该三次样条曲线的首未两端点分别与特征多边形的首末两个控制顶点相重合。（图形为有直角的漩涡形状）给出实现此曲线的代码

为了实现这个有直角的漩涡形状的三次B样条曲线，我们需要使用B样条插值的基本原理。B样条曲线通常由一系列控制点定义，通过这些点构造一条平滑连续的曲线。对于具有特定特征（如直角）的形状，可能需要对标准的B样条公式做一些调整或使用特殊的技术。

首先，我们需要定义一组控制点，这些点决定了B样条曲线的形状。对于有直角的漩涡，我们可以在起点和终点各放一个控制点，中间设置几个控制点来形成漩涡的转折点，其中可能包括直角。由于具体的数值没有给出，我会提供一个通用的步骤和代码框架：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

// B样条基函数
class BSplineBasis {
public:
    double evaluate(double t, size_t degree, size_t knot_index) const {
        // ... 实现基于贝塞尔公式的基函数计算 ...
    }
};

// 控制点结构体
struct ControlPoint {
    double x;
    double y;
};

// 创建一个三次B样条曲线
std::vector<double> createBezierCurve(const std::vector<ControlPoint>& control_points) {
    size_t degree = 3; // 三次B样条
    double t = 0; // 参数t从0到1
    std::vector<double> curve_points;

    for (size_t i = 0; i <= degree; ++i) {
        double sum = 0;
        for (size_t j = 0; j <= degree; ++j) {
            // 计算加权系数
            double weight = BSplineBasis::evaluate(t, degree, i + j);
            if (weight != 0) { // 如果基础函数非零，则加入控制点的x,y值
                sum += control_points[j].x * weight;
                curve_points.push_back(sum);
                sum += control_points[j].y * weight;
                curve_points.push_back(sum);
            }
        }
        t += 1 / (degree + 1); // 更新参数t
    }

    return curve_points;
}

int main() {
    std::vector<ControlPoint> control_points; // 假设这是特征多边形的控制点
    control_points.push_back({/* start point */});
    control_points.push_back({/* end point */}); // 首尾与多边形匹配
    // 添加中间控制点来形成漩涡

    std::vector<double> approximating_curve = createBezierCurve(control_points);

    // 可能还需要进行一些绘图操作，例如用OpenGL、QPainter或其他库绘制这些坐标
    // 对于这里，我们只生成了数据点，实际的绘图不在本例中
    // ...

    return 0;
}