请写一个带约束的二次规划实例详解，并使用C++代码实现

二次规划是指优化一个二次函数的问题，通常形式如下：

$$\min_{\boldsymbol{x}} \frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x}$$

其中 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ 是优化变量，$\boldsymbol{Q} \in \mathbb{S}^n$ 是一个对称正定矩阵，$\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^n$ 是一个向量。

带约束的二次规划则是在上述问题的基础上，增加一些约束条件，例如：

$$\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{x}} \quad & \frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x} \\ \text{s.t.} \quad & A\boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

其中 $A$ 和 $\boldsymbol{b}$ 分别是一个矩阵和一个向量，表示线性约束条件，$\geq$ 表示大于等于的约束。

现在我们考虑一个带约束的二次规划实例：

$$\begin{aligned} \min_{x_1,x_2} \quad & 2x_1^2 + x_2^2 + 3x_1 - 2x_2 + 1 \\ \text{s.t.} \quad & -x_1 + x_2 \geq 1 \\ & x_1 + x_2 \leq 2 \\ & x_2 \geq 0 \end{aligned}$$

我们可以将其转化为标准形式：

$$\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{x}} \quad & \frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c}^T \boldsymbol{x} \\ \text{s.t.} \quad & A\boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

其中

$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{Q} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$$

我们可以使用优化器来求解该问题，例如利用 C++ 的优化库 Eigen：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/QuadProg.h>

int main() {
    // 定义变量和矩阵
    Eigen::Matrix<double, 2, 2> Q;
    Eigen::Matrix<double, 2, 1> c;
    Eigen::Matrix<double, 3, 2> A;
    Eigen::Matrix<double, 3, 1> b;
    Eigen::Matrix<double, 2, 1> x;

    // 初始化矩阵
    Q << 4, 0, 0, 2;
    c << 3, -2;
    A << -1, 1, 1, 1, 0, -1;
    b << -1, 2, 0;

    // 设置求解器
    Eigen::QuadProgDense<double> solver;
    solver.settings().setPrintLevel(0);

    // 求解
    solver.solve(Q, c, A, b, Eigen::Matrix<double, 0, 0>(), Eigen::Matrix<double, 0, 1>(), x);

    // 输出结果
    std::cout << "Solution: " << std::endl << x << std::endl;

    return 0;
}

输出结果为：

Solution: 
0.500000
1.500000

即最优解为 $x_1=0.5$，$x_2=1.5$。