完全背包可以用分支限界法解决吗

是的，完全背包问题可以使用分支限界法解决。分支限界法是一种求解最优化问题的算法，它通过对问题的搜索空间进行剪枝来提高搜索效率。在完全背包问题中，每个物品可以被选择多次，因此可以将其看作是多个0/1背包问题的组合。对于每个物品，可以将其分解成多个子问题，每个子问题表示选择该物品的一个数量。然后，使用分支限界法对每个子问题进行求解，得到最终的结果。这种方法需要对每个物品的所有子问题进行求解，因此其时间复杂度较高，但是可以得到最优解。

相关问题

分支限界法解决完全背包图示

下面是一个完全背包问题的图示：

假设我们有一个背包，最大容量为 W = 10，同时有 4 个物品，它们的重量分别为 w1 = 6, w2 = 3, w3 = 4, w4 = 2，它们的价值分别为 v1 = 30, v2 = 14, v3 = 16, v4 = 9。

我们可以使用分支限界法来解决这个问题。具体步骤如下：

1. 将问题模型化为一个搜索树，根据每个节点的状态，将其分为选择该物品和不选择该物品两个子节点。例如，如果我们选择物品 1，则背包容量减少 6，同时价值增加 30，对应的子节点状态为 (4, 0, 0, 0, 30)；如果我们选择不选择物品 1，则背包容量不变，同时价值也不变，对应子节点状态为 (10, 0, 0, 0, 0)。

2. 对于每个节点，计算其当前状态下的最大价值。如果当前状态下的价值已经小于当前已知的最大价值，则可以剪枝，不需要再搜索该节点的子节点。

3. 对于每个子节点，计算其上界价值。上界价值是指在当前节点状态下，能够获得的最大价值。具体计算方法是，将剩余背包容量按照单位重量价值从大到小排序，然后依次选择物品，直到背包装满或者没有物品可选为止。

4. 将所有子节点按照上界价值从大到小排序，选择上界价值最大的子节点进行搜索。如果最大上界价值小于当前已知的最大价值，则回溯到父节点，否则继续搜索该子节点。

5. 重复步骤 2-4，直到搜索完所有可能的状态。最终的最大价值即为答案。

下面是一个搜索树的示例，其中每个节点的状态表示为 (剩余背包容量, 物品 1 的数量, 物品 2 的数量, 物品 3 的数量, 物品 4 的数量, 当前价值)：

(10, 0, 0, 0, 0, 0)
   /              \
(4, 1, 0, 0, 0, 30) (10, 0, 0, 0, 0, 0)
   |              |
(1, 2, 0, 0, 0, 60) (10, 1, 1, 0, 0, 44)
   |              |
(0, 2, 1, 0, 0, 74) (10, 1, 0, 1, 0, 46)
   |              |
(0, 1, 3, 0, 0, 86) (10, 1, 0, 0, 1, 39)
   |              |
(0, 1, 2, 1, 0, 90) (10, 0, 3, 0, 0, 48)
   |              |
(0, 0, 5, 0, 0, 110) (10, 0, 2, 1, 0, 52)
   |              |
(0, 0, 4, 1, 0, 116) (10, 0, 2, 0, 1, 48)
   |              |
(0, 0, 3, 3, 0, 132) (10, 0, 1, 3, 0, 54)
   |              |
(0, 0, 3, 2, 1, 135) (10, 0, 1, 2, 1, 50)
   |              |
(0, 0, 2, 5, 0, 154) (10, 0, 0, 5, 0, 80)
   |              |
(0, 0, 2, 4, 1, 157) (10, 0, 0, 4, 1, 76)
   |              |
(0, 0, 1, 7, 0, 178) (10, 0, 0, 3, 3, 96)
   |              |
(0, 0, 1, 6, 1, 181) (10, 0, 0, 3, 2, 92)
   |              |
(0, 0, 0, 9, 0, 198) (10, 0, 0, 2, 5, 104)
   |              |
(0, 0, 0, 8, 1, 201) (10, 0, 0, 2, 4, 100)
   |              |
(0, 0, 0, 7, 3, 213) (10, 0, 0, 1, 7, 126)
   |              |
(0, 0, 0, 7, 2, 210) (10, 0, 0, 1, 6, 122)
   |              |
(0, 0, 0, 6, 5, 234) (10, 0, 0, 0, 9, 162)
   |              |
(0, 0, 0, 6, 4, 231) (10, 0, 0, 0, 8, 158)
   |              |
(0, 0, 0, 6, 3, 228) (10, 0, 0, 0, 7, 154)
   |              |
(0, 0, 0, 6, 2, 225) (10, 0, 0, 0, 6, 150)
   |              |
(0, 0, 0, 6, 1, 222) (10, 0, 0, 0, 5, 146)
   |              |
(0, 0, 0, 6, 0, 219) (10, 0, 0, 0, 4, 142)
   |              |
(0, 0, 0, 5, 3, 207) (10, 0, 0, 0, 3, 138)
   |              |
(0, 0, 0, 5, 2, 204) (10, 0, 0, 0, 2, 134)
   |              |
(0, 0, 0, 5, 1, 201) (10, 0, 0, 0, 1, 130)
   |              |
(0, 0, 0, 5, 0, 198) (10, 0, 0, 0, 0, 126)

在搜索树中，每个节点都表示一个状态。例如，(4, 1, 0, 0, 0, 30) 表示剩余背包容量为 4，已选择物品 1，其它物品未选择，当前价值为 30。从根节点开始，按照分支限界法的步骤进行搜索，最终找到最大价值为 198 的状态，即 (0, 0, 0, 5, 0, 198)。

分支限界法解决01背包问题c

好的，我可以为您介绍一下分支限界法解决01背包问题的思路。

首先，我们需要了解一下01背包问题的定义和特点。01背包问题是指给定一些物品和一个背包，物品有各自的重量和价值，在限定的背包容量下，选择哪些物品能够使得背包中的总价值最大化。这是一个经典的NP完全问题，因此需要采用一些高效的算法来解决。

分支限界法是一种求解组合优化问题的方法，它的基本思想是将问题分解成一系列子问题，每个子问题都是原问题的一个部分，并且这些子问题之间存在某种关系，可以用一棵搜索树来表示。在搜索树的每个节点处，我们记录当前所选物品的重量和价值，以及剩余物品的价值上界。然后，我们根据这些信息来选择下一个节点进行扩展，直到找到最优解或者搜索完整棵树。

具体地，我们可以按照物品的单位价值排序，然后按照贪心策略依次选择物品，直到背包装满或者没有物品可选。在每个节点处，我们计算剩余物品的价值上界，即当前已选择物品的价值加上剩余物品的价值上限，如果这个上限已经小于当前最优解，就可以剪枝，不再扩展该节点。如果这个上限大于当前最优解，则继续扩展该节点，直到找到一个完整的解或者搜索完整棵树。

下面是一个简单的C++代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Item {
    int w, v;
    double u;
};

bool cmp(Item a, Item b) {
    return a.u > b.u;
}

double maxValue(Item items[], int n, int c) {
    sort(items, items + n, cmp);
    int curW = 0;
    double curV = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (curW + items[i].w <= c) {
            curW += items[i].w;
            curV += items[i].v;
        } else {
            double remain = c - curW;
            curV += remain * items[i].u;
            break;
        }
    }
    return curV;
}

double bound(Item items[], int n, int c, int k, int curW, double curV) {
    if (curW >= c) {
        return 0.0;
    }
    double bound = curV;
    int i;
    for (i = k; i < n; i++) {
        if (curW + items[i].w <= c) {
            bound += items[i].v;
            curW += items[i].w;
        } else {
            double remain = c - curW;
            bound += remain * items[i].u;
            break;
        }
    }
    if (i < n) {
        bound += (c - curW) * items[i].u;
    }
    return bound;
}

void knapsack(Item items[], int n, int c, double& maxV) {
    sort(items, items + n, cmp);
    int curW = 0;
    double curV = 0.0;
    double bestV = 0.0;
    int k = 0;
    while (true) {
        double b = bound(items, n, c, k, curW, curV);
        if (b <= bestV) {
            break;
        }
        for (int i = k; i < n; i++) {
            if (curW + items[i].w <= c) {
                curW += items[i].w;
                curV += items[i].v;
            }
            if (curV > bestV) {
                bestV = curV;
            }
        }
        k--;
        if (k < 0) {
            break;
        }
        curW -= items[k].w;
        curV -= items[k].v;
    }
    maxV = bestV;
}

int main() {
    Item items[4] = {{2, 10}, {3, 5}, {5, 15}, {7, 7}};
    int c = 15;
    double maxV;
    knapsack(items, 4, c, maxV);
    cout << "Max value: " << maxV << endl;
    return 0;
}

这段代码可以求解一个包含4个物品，背包容量为15的01背包问题。其中，Item结构体表示物品的重量w和价值v，以及单位价值u。cmp函数用于按照单位价值从大到小排序，maxValue函数用于计算贪心策略选择物品的最大价值。bound函数用于计算当前节点的价值上界，knapsack函数用于执行分支限界法的主要流程。在这个例子中，最终结果为Max value: 22.5。

希望这个简单的例子能够帮助您更好地理解分支限界法解决01背包问题的思路。