用人studio写出最速下降法

最速下降法（Steepest Descent Method）是一种基本的无约束优化算法，它是一种迭代算法，用于寻找多元函数的最小值。

算法流程如下：

输入：目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$，梯度下降方向 $d_k$ 的计算方法，步长 $\alpha_k$ 的计算方法，精度要求 $\epsilon$。

输出：最小值点 $x^*$ 和最小值 $f(x^*)$。

1. 初始化：选择初始点 $x_0$，设 $k=0$。

2. 计算梯度：计算 $f(x_k)$ 的梯度 $g_k$。

3. 计算下降方向：计算下降方向 $d_k=-g_k$。

4. 计算步长：计算步长 $\alpha_k$，使得 $f(x_k+\alpha_kd_k)$ 达到最小值。

5. 更新：更新点 $x_{k+1}=x_k+\alpha_kd_k$。

6. 判断终止条件：如果 $\|g_k\|<\epsilon$，则停止迭代，输出 $x^*=x_k$，$f(x^*)=f(x_k)$；否则，令 $k=k+1$，返回步骤 2。

其中，步长 $\alpha_k$ 的计算方法可以使用精确线性搜索或者 Armijo 搜索等方法。

下面是用 Python 实现的最速下降法：

import numpy as np

def steepest_descent(f, grad_f, x0, epsilon=1e-6, max_iter=1000):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        # 计算梯度
        g = grad_f(x)
        # 计算下降方向
        d = -g
        # 计算步长
        alpha = backtracking_line_search(f, grad_f, x, d)
        # 更新点
        x_new = x + alpha * d
        # 判断终止条件
        if np.linalg.norm(grad_f(x_new)) < epsilon:
            break
        x = x_new
    return x, f(x)

def backtracking_line_search(f, grad_f, x, d, alpha=1, rho=0.5, c=1e-4):
    while f(x + alpha * d) > f(x) + c * alpha * np.dot(grad_f(x), d):
        alpha = rho * alpha
    return alpha

其中，`f` 表示目标函数，`grad_f` 表示目标函数的梯度函数，`x0` 表示初始点，`epsilon` 表示精度要求，`max_iter` 表示最大迭代次数。`backtracking_line_search` 函数实现了精确线性搜索算法。