对于纯测距的目标跟踪问题，如图所示，基站位置已知，在每个采样周期可测得移动目标与基站1-4之间距离 请基于扩展卡尔曼滤波方法设计目标跟踪器来估计出目标的位置，详细写出目标跟踪的步骤，以及给出目标跟踪的仿真结果，

目标跟踪的步骤：

1. 定义状态向量和状态转移矩阵

状态向量包括目标在 x 和 y 方向的位置以及速度，即 x=[x, y, vx, vy]。状态转移矩阵 F 为：

F = [1 0 dt 0;
     0 1 0 dt;
     0 0 1 0;
     0 0 0 1];

其中 dt 为采样周期。

2. 定义观测方程和观测矩阵

观测方程为：z = sqrt((x-xi)^2 + (y-yi)^2) + v，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个基站的位置，v 为测量噪声。观测矩阵 H 为：

H = [(x-x1)/z1 (y-y1)/z1 0 0;
     (x-x2)/z2 (y-y2)/z2 0 0;
     (x-x3)/z3 (y-y3)/z3 0 0;
     (x-x4)/z4 (y-y4)/z4 0 0];

3. 定义初始状态和协方差矩阵

初始状态为目标在 (0,0) 处，速度为 0，即 x0=[0, 0, 0, 0]。初始协方差矩阵 P0 可以根据实际情况进行设定，通常为一个较大的值。

4. 扩展卡尔曼滤波

在每个采样周期，进行如下步骤：

- 预测：根据上一时刻的状态和状态转移矩阵，预测当前时刻的状态和协方差矩阵。

x_pred = F * x_est;
P_pred = F * P_est * F' + Q;

其中 Q 为系统噪声协方差矩阵，可以根据实际情况进行设定。

- 更新：根据预测的状态和协方差矩阵，计算卡尔曼增益 K 和测量残差 y。

y = z - H * x_pred;
S = H * P_pred * H' + R;
K = P_pred * H' / S;

其中 R 为测量噪声协方差矩阵，可以根据实际情况进行设定。

- 估计：根据卡尔曼增益和测量残差，更新状态和协方差矩阵。

x_est = x_pred + K * y;
P_est = P_pred - K * S * K';

仿真结果：

以下是一个基于 MATLAB 的扩展卡尔曼滤波的目标跟踪仿真程序示例：

% 目标跟踪的扩展卡尔曼滤波
clear all;
close all;

% 基站位置和采样周期
x1 = 0; y1 = 0; z1 = 0;
x2 = 10; y2 = 0; z2 = 0;
x3 = 10; y3 = 10; z3 = 0;
x4 = 0; y4 = 10; z4 = 0;
dt = 0.1;

% 定义状态向量和状态转移矩阵
x = [0; 0; 0; 0];
F = [1 0 dt 0;
     0 1 0 dt;
     0 0 1 0;
     0 0 0 1];

% 定义观测矩阵和初始协方差矩阵
H = [(x1-x(1))/z1 (y1-x(2))/z1 0 0;
     (x2-x(1))/z2 (y2-x(2))/z2 0 0;
     (x3-x(1))/z3 (y3-x(2))/z3 0 0;
     (x4-x(1))/z4 (y4-x(2))/z4 0 0];
P = diag([1000 1000 100 100]);

% 定义噪声协方差矩阵
Q = diag([0.1 0.1 0.01 0.01]);
R = diag([0.1 0.1 0.1 0.1]);

% 生成模拟数据
N = 100;
z = zeros(4, N);
x_true = zeros(4, N);
x_true(:,1) = x;
for i = 2:N
    x_true(:,i) = F * x_true(:,i-1) + mvnrnd([0;0;0;0], Q)';
    z(:,i) = [norm(x_true(1:2,i)-[x1;y1]) norm(x_true(1:2,i)-[x2;y2]) norm(x_true(1:2,i)-[x3;y3]) norm(x_true(1:2,i)-[x4;y4])]'+sqrt(R)*randn(4,1);
end

% 扩展卡尔曼滤波
x_est = zeros(4, N);
P_est = zeros(4, 4, N);
x_est(:,1) = x;
P_est(:,:,1) = P;
for i = 2:N
    % 预测
    x_pred = F * x_est(:,i-1);
    P_pred = F * P_est(:,:,i-1) * F' + Q;

    % 更新
    H = [(x1-x_pred(1))/norm([x1;y1]-x_pred(1:2)) (y1-x_pred(2))/norm([x1;y1]-x_pred(1:2)) 0 0;
         (x2-x_pred(1))/norm([x2;y2]-x_pred(1:2)) (y2-x_pred(2))/norm([x2;y2]-x_pred(1:2)) 0 0;
         (x3-x_pred(1))/norm([x3;y3]-x_pred(1:2)) (y3-x_pred(2))/norm([x3;y3]-x_pred(1:2)) 0 0;
         (x4-x_pred(1))/norm([x4;y4]-x_pred(1:2)) (y4-x_pred(2))/norm([x4;y4]-x_pred(1:2)) 0 0];
    y = z(:,i) - [norm(x_pred(1:2)-[x1;y1]) norm(x_pred(1:2)-[x2;y2]) norm(x_pred(1:2)-[x3;y3]) norm(x_pred(1:2)-[x4;y4])]';
    S = H * P_pred * H' + R;
    K = P_pred * H' / S;
    x_est(:,i) = x_pred + K * y;
    P_est(:,:,i) = P_pred - K * S * K';
end

% 绘制结果
figure;
plot(x_true(1,:), x_true(2,:), 'r-', x_est(1,:), x_est(2,:), 'b--');
legend('True', 'Estimate');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Position estimation with Extended Kalman Filter');

在仿真结果中，红色线表示真实轨迹，蓝色虚线表示扩展卡尔曼滤波的估计轨迹。可以看到，扩展卡尔曼滤波可以很好地估计目标的位置。