用凸函数的定义证明:对任意a属于R,e**ax是R上的凸函数
时间: 2024-06-04 12:12:33 浏览: 9
我们需要证明对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$和任意的$\lambda \in [0,1]$,都有:
$$e^{a(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)} \leq \lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2}$$
我们可以通过等式两边同时取对数来化简不等式:
$$\begin{aligned} & e^{a(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)} \leq \lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2} \\ \Leftrightarrow \quad & a(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \ln(\lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2}) \\ \Leftrightarrow \quad & \lambda ax_1 + (1-\lambda)ax_2 \leq \ln(\lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2}) \end{aligned}$$
现在我们需要证明最后一行的不等式成立。因为$a$是定值,所以我们可以将其移项并对不等式两边同时取指数:
$$\begin{aligned} & \lambda ax_1 + (1-\lambda)ax_2 \leq \ln(\lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2}) \\ \Leftrightarrow \quad & e^{\lambda ax_1 + (1-\lambda)ax_2} \leq \lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2} \end{aligned}$$
注意到指数函数$e^x$是一个凸函数,因此我们可以直接应用Jensen不等式:
$$e^{\lambda ax_1 + (1-\lambda)ax_2} \leq \lambda e^{ax_1} + (1-\lambda) e^{ax_2}$$
因此,我们证明了$e^{ax}$是一个凸函数。