an=2n+1,当n大于等于2^(k-1)小于等于2^k-1时,有bn-1小于an小于bn ,求bn的通项公式,并求出bn的前n项和
时间: 2024-03-14 18:49:12 浏览: 15
我们可以将an=2n+1表示为n=(an-1)/2,然后将n代入bn-1小于an小于bn中,得到:
bn-1 < (an-1)/2 < bn
将an=2n+1代入上式,得到:
bn-1 < n < bn-1/2
因此,bn的通项公式为:
bn = ⌈(an+1)/2⌉
其中,⌈x⌉表示不小于x的最小整数。
将an=2n+1代入上式,得到:
bn = ⌈(2n+2)/2⌉ = n+1
因此,bn的通项公式为bn=n+1。
前n项和为:
b1 + b2 + ... + bn = (2+1) + (4+1) + ... + (2n+1)
= (1+2+...+n) + n
= n(n+1)/2 + n
= (n+1)(n+2)/2
因此,bn的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
相关问题
an=2n+1,当n大于等于2^(k-1)小于等于2^k-1时,有bn-1小于an小于bn 求证:当k大于等于2时2^k-1小于bn小于2^k+1
我们可以使用数学归纳法来证明此结论。
当k=2时,我们有2^k-1=3,a_n=2n+1,b_n-1=2n,b_n=2n+2,因此2^k-1小于b_n-1小于a_n小于b_n小于2^k+1,结论成立。
现在假设当k=m时结论成立,即2^m-1小于b_n-1小于a_n小于b_n小于2^m+1。
我们需要证明当k=m+1时结论也成立,即2^(m+1)-1小于b_n-1小于a_n小于b_n小于2^(m+1)+1。
当2^m-1<=n<=2^m时,根据假设,我们有2^m-1小于b_n-1小于a_n小于b_n小于2^m+1。
当2^m+1<=n<=2^(m+1)-1时,我们有:
b_n-1=2n-1>2(2^m)-1=2^(m+1)-1>2^m+1
a_n=2n+1<2(2^(m+1)-1)=2^(m+2)-2<2^(m+1)+1
b_n=2n+1<2(2^(m+1)-1)+1=2^(m+2)-1<2^(m+1)+1
因此,对于所有的n,都有2^(m+1)-1小于b_n-1小于a_n小于b_n小于2^(m+1)+1。
综上所述,根据数学归纳法,结论成立。
bn=1/2n(2n-1)求前n项和
可以使用数学归纳法证明,对于任意正整数n,都有:
bn = 1/2n(2n-1)
根据等差数列的求和公式,前n项和为:
Sn = n/2 * (a1+an)
其中a1=1,an=b(n),代入bn的公式,得到:
an = 1/2n(2n-1)
将a1和an代入上面的求和公式,得到:
Sn = n/2 * [1 + 1/2 + 2/4 + ... + (n-1)/2n]
将分式(n-1)/2n拆分成(n/2n)-(1/2n),得到:
Sn = n/2 * [1 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/2 - 1/2n]
化简得:
Sn = n/2 * [1 + (n-1)/2n]
Sn = n/2 * [n/2n + 1/2n]
Sn = n/4 + 1/4 * n(n-1)
因此,前n项和为:
Sn = n/4 + 1/4 * n(n-1) = n(2n-1)/4
所以,bn=1/2n(2n-1)的前n项和为n(2n-1)/4。