对流方程的有限差分法及matlab

对流方程是描述流体在流动过程中速度和密度变化的偏微分方程。有限差分法是求解偏微分方程的一种常见方法，可以将偏微分方程中的连续变量离散化为有限个点上的离散变量，然后利用差分近似来求解。

对于一维线性对流方程:

$$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0$$

其中 $u(x,t)$ 表示流体在时刻 $t$ 时在位置 $x$ 的密度，$a$ 表示流速。

我们可以将空间和时间分别离散化，设 $x_i = i\Delta x$，$t^n = n\Delta t$，其中 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 分别表示空间和时间上的离散步长，$n$ 表示时间步数。

则对流方程可以离散化为：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}+a\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\Delta x}=0$$

移项得到：

$$u_i^{n+1}=u_i^n-a\frac{\Delta t}{\Delta x}(u_i^n-u_{i-1}^n)$$

这个式子就是有限差分法的基本形式，我们可以根据初始条件 $u(x,0)$ 和边界条件 $u(0,t)$ 和 $u(L,t)$ 来递推求解。

下面是一个用 MATLAB 实现一维对流方程的有限差分法的例子：

% 输入参数
L = 1; % 区间长度
T = 1; % 模拟时间
a = 1; % 速度
dx = 0.01; % 空间步长
dt = 0.001; % 时间步长

% 离散化
x = 0:dx:L;
t = 0:dt:T;
nx = length(x);
nt = length(t);

% 初始条件
u0 = exp(-(x-0.5).^2/0.1);

% 边界条件
u0(1) = 0;
u0(nx) = 0;

% 递推求解
u = zeros(nx,nt);
u(:,1) = u0;
for n = 1:nt-1
    u(2:end-1,n+1) = u(2:end-1,n)-a*dt/dx*(u(2:end-1,n)-u(1:end-2,n));
end

% 绘图
mesh(x,t,u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u(x,t)')

这个例子中我们用了 mesh 绘制了 $u(x,t)$ 随着时间的演化情况。