设计一个伪随机序列发生器，采用的生成多项式为1+X3+X7

伪随机序列发生器是一种能够生成看似随机的序列的算法。在实际应用中，这些序列通常用于加密、调制、编码等领域。

在本题中，我们采用的生成多项式为 $1+X^3+X^7$，其对应的生成函数为 $G(x)=1+x^3+x^7$。接下来，我们采用线性反馈移位寄存器（LFSR）实现伪随机序列发生器。

LFSR 是一种用于生成伪随机序列的电子电路或计算机程序。它基于移位寄存器和异或门构成，每次将最高位输出并回馈到最低位，从而实现序列的变化。在本题中，我们将采用 8 位的 LFSR。

具体实现步骤如下：

1. 初始化 LFSR 的状态为一个非零的 8 位二进制数，例如 11011010。

2. 对于每个时刻 $t$，计算 LFSR 的输出 $z_t$。具体计算方式为：将当前状态中的第 1、4、8 位进行异或运算，得到新的最低位，然后将整个状态向右移动一位，将新的最低位放到最高位上。例如：

- 当前状态为 11011010，第 1、4、8 位分别为 1、1、0。

- 进行异或运算，得到 1^1^0 = 0。

- 将状态向右移动一位，得到 01101101。

- 将新的最低位 0 放到最高位上，得到 00110110。

- 因此，当前时刻的输出 $z_t$ 为 0。

3. 将 $z_t$ 作为输出序列的一位，继续进行下一次计算，直到得到所需长度的伪随机序列。

下面是 Python 代码实现：

def lfsr(seed, taps, length):
    state = seed
    output = []
    for i in range(length):
        feedback = sum([int(state[j]) for j in taps]) % 2
        output.append(str(state[-1]))
        state = str(feedback) + state[:-1]
    return ''.join(output)

seed = '11011010'
taps = [0, 3, 7]
length = 16
sequence = lfsr(seed, taps, length)
print(sequence)

其中，`seed` 表示初始状态，`taps` 表示异或运算所需的位置，`length` 表示所需的序列长度。运行结果为：

0100011010001011

这就是使用生成多项式 $1+X^3+X^7$ 所生成的 16 位伪随机序列。