西安交通大学计算方法上机作业

西安交通大学计算方法上机作业包括以下四个任务：

### 上机作业一
**目标**：求解 n 阶线性代数方程组 \( Ax = b \)，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是非奇异矩阵。
- **方法**：
- 直接解法（LU 分解）
- 迭代解法（Jacobi, Gauss-Seidel, SOR）
- 共轭梯度法（当 \( A \) 对称正定时）
- **要求**：
- 设定迭代次数上限（例如，不超过 \( n \) 次）
- 判断迭代是否收敛
- 编写程序并验证其正确性
- 使用编写好的程序求解一个具体的 n 阶线性代数方程组（\( n \geq 1000 \)）
- 比较各种迭代解法的迭代收敛步数和计算时间

### 上机作业二
**目标**：构造最小二乘拟合多项式。
- **方法**：
- 给定 \( n+1 \) 个数据点 \( (x_i, y_i) = (x_i, f(x_i)) \)
- 编制构造 \( f(x) \) 最小二乘拟合 \( m \) 次多项式的算法程序（\( m < n \)）
- **要求**：
- 给出算法程序
- 完成教材第 176 页“计算实习”问题 5.1 中最小二乘拟合 4 次多项式的构造
- 绘制拟合函数和数据点的图形对比（2-范数误差）
- 在各自专业领域寻找最小二乘拟合问题，给出拟合函数和数据点的图形对比（2-范数误差）

### 上机作业三
**目标**：求解多项式方程 \( f(x) = x^6 - 5x^5 + 3x^4 + x^3 - 7x^2 + 7x - 20 = 0 \) 在区间 \([-1, 5]\) 的全部实根。
- **方法**：
- 简单迭代法
- 牛顿迭代法
- 弦割法
- **要求**：
- 先用二分法作根的隔离
- 给出算法程序
- 以表格形式给出不同迭代法收敛到的近似解及迭代次数

### 上机作业四
**目标**：求解一阶常微分方程初值问题 \( \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 + g(x) \)，\( 0 < x \leq 1 \)，\( y(0) = 0 \)。
- **方法**：
- Euler 法
- 向后 Euler 法
- 四阶四级 Runge-Kutta 方法
- **要求**：
- 使用不同的步长 \( h \)（如 \( h = 0.1, 0.01, 0.001 \)）进行计算
- 给定一个满足初始条件 \( y(0) = 0 \) 的光滑函数 \( y = f(x) \)，将其带入微分方程计算得到 \( g(x) \)
- 假定方程的精确解 \( y = f(x) \) 未知，通过数值求解获得数值解，计算数值解在每个 \( x_i \) 处的值及其误差
- 取 \( g(x) = \sin(\pi x) \)，用上述三种方法数值求解常微分方程初值问题，绘制数值解的描点连线图
- 以四阶四级 Runge-Kutta 格式的数值解作为近似精确解，绘制 Euler 法和向后 Euler 法所得数值解的误差随 \( x \) 变化的曲线

### 提交要求
- 至少完成三次上机作业，第四次作业为必做
- 所有上机作业需整理在一个 PDF 文件中提交
- 报告中需包含上机作业题目和要求
- 不需要提交程序代码，只需提交数值计算结果并进行简单说明
- 如结果与预期不一致，需分析原因
- 提交方式：发送至邮箱 1767221304@qq.com
- 邮件主题：计算方法上机作业
- 邮件正文中注明姓名和学号
- 正确提交后会收到确认邮件，未收到确认邮件或收到拒收邮件需检查邮件主题是否精确匹配

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