大整数乘法——分治算法的时间复杂度

大整数乘法的分治算法，通常采用 Karatsuba 算法或者 Schönhage-Strassen 算法。
对于 Karatsuba 算法，其时间复杂度为 $O(n^{\log_2 3})$，其中 $n$ 是大整数的位数。
对于 Schönhage-Strassen 算法，其时间复杂度为 $O(n \log n \log \log n)$，其中 $n$ 是大整数的位数。
因此，大整数乘法分治算法的时间复杂度在最坏情况下可以达到 $O(n^{\log_2 3})$ 或 $O(n \log n \log \log n)$。

相关问题

大整数的乘法 分治法 复杂度

分治法实现大整数乘法的时间复杂度分析
分治法用于大整数乘法可以显著减少所需的操作次数。传统的大整数乘法算法具有 (O(n^2)) 的时间复杂度，而通过应用分治策略，这一复杂度能够有所改善。
当使用经典的 Karatsuba 算法作为分治方法的一个实例时，其核心思想在于将两个 n 位数 X 和 Y 各自拆分成两部分，从而形成四个较小规模的子问题[^4]。具体而言：
设 (X = A \cdot B^n + C) 和 (Y = D \cdot B^n + E), 则有:
[ XY = AD \cdot B^{2n} + ((A-B)(D-E)+AE+BD)B^n + CE ]
这里的关键之处在于减少了乘法操作的数量——从四次降到了三次，这使得总的工作量得以削减。对于长度为 n 的数字字符串，如果每次分割都近似于一半，则递归调用树的高度大约是对数级别的 log₂n 层深。因此，整个过程中的主要工作集中在每一层上的三个乘积项上。
根据主定理（Master Theorem），这种情况下 T(n)=aT(n/b)+f(n)，其中 a=3, b=2 并且 f(n)=Θ(n)，所以最终得出结论说该算法的整体渐进性能优于朴素做法，即达到了约 (O(n^{\log_2{3}})) 或者更精确地说是 (O(n^{1.58})) 左右的时间复杂度。
尽管如此，在实际编程实践中需要注意的是，由于额外引入了一些加减运算以及可能存在的溢出风险等问题，常数因子可能会较大；而且随着输入数值增大到一定程度后，内存访问模式也可能影响整体表现。不过总体来看，相较于原始平方级的方法，Karatsuba 方法确实提供了更好的理论保障和实践效果。
def karatsuba(x, y):
if x < 10 or y < 10:
return x * y

# Calculate the size of the numbers
m = max(len(str(x)), len(str(y)))
m2 = m // 2

# Splitting into two halves
high1, low1 = divmod(x, 10**m2)
high2, low2 = divmod(y, 10**m2)

z0 = karatsuba(low1, low2)
z1 = karatsuba((low1 + high1), (low2 + high2))
z2 = karatsuba(high1, high2)

return (z2 * 10**(2*m2)) + ((z1 - z2 - z0) * 10**m2) + z0

大整数乘法分治C++

关于大整数乘法分治算法的C++实现
理论基础
大整数乘法是指当两个非常大的整数相乘时，由于这些数值超出了常规数据类型的范围，因此需要特殊的方法来进行计算。对于超出标准整数类型表示能力的大整数，可以采用分治策略将其分解为较小的部分进行处理[^1]。
分治方法概述
具体来说，在执行大整数乘法的过程中，会把较长的数字拆分成较短的小部分，然后分别对这些小部分做乘法操作，并最终组合起来得到完整的乘积结果。这种方法不仅能够有效地减少单次运算的数据量级，而且还能通过递归调用来简化复杂度较高的乘法过程[^3]。
C++代码实例
下面给出一段基于向量std::vector<int>来模拟多位数并实施其乘法规则的例子：
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// Function to multiply two large numbers represented as vectors.
void bigIntegerMultiply(const vector<int>& num1, const vector<int>& num2, vector<int>& result){
int n1 = num1.size(), n2 = num2.size();
result.resize(n1 + n2);

for (int i = 0; i < n1; ++i) {
for (int j = 0; j < n2; ++j) {
result[i + j] += num1[i] * num2[j];
result[i + j + 1] += result[i + j] / 10;
result[i + j] %= 10;
}
}

// Remove leading zeros from the result
while (!result.empty() && result.back() == 0) {
result.pop_back();
}
}

int main(){
// Example usage of bigIntegerMultiply function with test cases
vector<int> a{7, 8}; // Represents number '87'
vector<int> b{9, 5}; // Represents number '59'

vector<int> res;
bigIntegerMultiply(a,b,res);

cout << "Multiplication Result: ";
if(res.empty()){
cout << "0";
}else{
for(auto it=res.rbegin();it!=res.rend();++it){
cout<<*it;
}
}
}

此程序片段定义了一个名为bigIntegerMultiply的功能函数，该函数接收两个参数作为输入——即待相乘的大整数（形式上是以逆序排列的一系列十进制位），并将它们的结果保存在一个新的动态数组中返回给调用者。此外还提供了一组简单的测试案例用于验证功能正确性[^2]。