$Vert x \Vert_1$对$x_1$的求导

我们有：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_1} \Vert x \Vert_1 &= \frac{\partial}{\partial x_1} \left( |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| \right) \\
&= \text{sign}(x_1) \cdot \frac{\partial |x_1|}{\partial x_1} + 0 + \cdots + 0 \\
&= \text{sign}(x_1),
\end{aligned}
$$

其中 $\text{sign}(x_1)$ 是 $x_1$ 的符号函数：

$$
\text{sign}(x_1) =
\begin{cases}
-1, & x_1 < 0 \\
0, & x_1 = 0 \\
1, & x_1 > 0
\end{cases}
$$

因此，$\frac{\partial}{\partial x_1} \Vert x \Vert_1$ 在 $x_1$ 处的导数为 $\text{sign}(x_1)$。

相关问题

$Vert x \Vert_1$的图像

$ \Vert x \Vert_1$ 表示 $x$ 的 L1 范数，即向量 $x$ 中各元素绝对值之和。其图像可以表示为：


其中，蓝色实线表示 $x$ 的 L1 范数。可以看到，L1 范数相当于原点到向量 $x$ 的曼哈顿距离。当 $x$ 是二维向量时，L1 范数可以表示为一个菱形。

函数$f(x)=x_1^2+2x_2^2+\Vert x \Vert_1$的次梯度是

在 $x \neq 0$ 的点处，$f(x)$ 的次梯度为：

$\partial f(x) = \begin{cases} 2x_1 x_2^2 \operatorname{sign}(x_1) 2\Vert x \Vert_1 + x_1^2 4x_2 \operatorname{sign}(x_2) \\ 0, &\text{if }x=0 \end{cases}$

其中 $\operatorname{sign}(x)$ 是符号函数，$\operatorname{sign}(x)=1$ 当 $x>0$，$\operatorname{sign}(x)=-1$ 当 $x<0$，$\operatorname{sign}(0)=0$。