y = sinx 求反函数

函数 y = sinx 在区间 [-π/2, π/2] 内是单调增加的，因此它存在反函数。

反函数记为 x = sin⁻¹y，意思是求出一个角度 x，使得 sinx = y。

则有 sinx = y，两边同时对 x 求导：

cosx * dx/dy = 1

dx/dy = 1/cosx

由于 sinx = y，可以得到：

cos²x + sin²x = 1

cosx = ±√(1 - sin²x)

因为函数 y = sinx 在区间 [-π/2, π/2] 内是单调增加的，所以它的反函数定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]。

因此，反函数为：

x = sin⁻¹y = arcsin(y)

相关问题

用MATLAB绘制显函数方程 y=sin(tan x) -tan(sinx)在x∈[-π，π ] 区间上的曲线图形.

在MATLAB中，你可以按照以下步骤来绘制函数y = sin(tan(x)) - tan(sin(x))在区间x ∈ [-π, π] 上的曲线：

1. 首先，你需要打开MATLAB并创建一个新的工作空间。

2. 使用`syms x`命令定义变量x为符号变量，因为我们需要对其进行高级数学运算，如三角函数和反三角函数。

syms x

3. 定义函数y，并指定x的取值范围。使用`linspace`函数生成一个包含-π到π之间等间距点的向量，然后计算对应的y值。

t = linspace(-pi, pi, 400); % 400个等间距点足够细致
y = sin(tan(t)) - tan(sin(t));

4. 创建一个新的图窗口，并将x轴设为角度，y轴设为函数值。

plot(t, y)
xlabel('角度 (弧度)')
ylabel('y = sin(tan(x)) - tan(sin(x))')
title('y=sin(tan(x)) - tan(sin(x)) 在 [-π, π] 的曲线')

5. 最后，显示图像。

axis([-pi pi - tan(sin(x))在x ∈ [-π, π]区间的曲线了。

反三角函数的导数的推导

反三角函数是指正弦、余弦、正切等基本三角函数的倒数，例如反正弦(sin^(-1))、反余弦(cos^(-1))和反正切(tan^(-1))。它们的导数可以用链式法则来推导：

1. 对于反正弦(sin^(-1)x)，其导数可以看作是y = arcsinx，则有 y' = d/dx arcsinx。由于arcsinx是一个复合函数，我们可以将其视为u=sinx的逆，即y=arcsin(u)。利用链式法则，我们得到dy/du = 1/sqrt(1-u^2)，而du/dx = cos(x)。因此，y' = dy/du * du/dx = (1/sqrt(1-x^2)) * cos(x)。

2. 对于反余弦(cos^(-1)x)，同样用链式法则，设y=acosx，那么y'=d/dx acosx。这里有y=acosu（u=x），所以dy/du=-1/sqrt(1-u^2)，然后du/dx=-sin(x)。将两者结合，得y' = -1/sqrt(1-x^2) * (-sin(x)) = sin(x)/sqrt(1-x^2)。

3. 对于反正切(tan^(-1)x)，记作y=atanx或y=π/4 + atan(x)，因为tan函数是周期函数，其原函数会有π的周期项。使用链式法则和辅助角公式，我们有y' = d/dx (π/4 + arctan(u))，其中u=x。于是dy/du = 1/(1+u^2)，du/dx = 1/x^2。化简得到y' = 1/(1+x^2)。