8个顶点的树，在不同构下有多少棵？

8个顶点的树，在不同构下的棵树数目为14棵。

这个结果可以通过Cayley定理得到。Cayley定理指出，n个节点的标号不同的有根树的个数为n^(n-1)。因此，8个节点的有根树的个数为8^7=2097152。

但是，这里的问题要求的是无根树，因此需要对有根树的个数进行调整。对于一棵无根树，可以从中选择一个顶点作为根，这样就可以得到一棵有根树。因此，一棵无根树对应着n个有根树，因此8个节点的无根树的个数为2097152/8=262144。

由于对于任意一棵无根树，都可以通过重新标号的方式得到唯一的一棵树，因此需要对262144个无根树进行去重。最终得到的无根树的个数为14棵。

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电网络理论拓扑网络全部树的生成matlab代码

### 使用 Matlab 实现生成所有网络拓扑树

在网络科学领域，生成所有的网络拓扑树是一个复杂而有趣的问题。对于给定数量的节点，可以构建多种不同形态的树形结构。下面提供一种基于广度优先搜索 (BFS) 和深度优先搜索 (DFS) 结合的方法来枚举所有可能的连通无环图（即树），并给出相应的 MATLAB 代码。

#### 枚举所有 N 节点的不相同构的树

为了简化问题，先考虑如何生成固定数目顶点的不同形状的非同构树：

1. **初始化阶段**
- 设定要创建的最大节点数 `N`。
- 创建一个空列表用来存储找到的所有独特的树状结构。

2. **递归构造过程**
- 对每一个新的节点 i, 尝试将其连接到已存在的任意位置 j 上形成新边(i,j)，从而扩展现有子树成为更大的树。
- 如果新增加后的图形仍然保持为一棵树，则保存下来；否则丢弃它。

3. **去重机制**
- 应用某种标准形式化表示每棵树(比如最小字典序排列), 并通过哈希表或其他方式去除重复项。

以下是具体的MATLAB实现:

function trees = generateAllTrees(N)
% GENERATEALLTREES Generates all unique tree topologies with up to N nodes.
%
% Input:
%   N - Maximum number of nodes in the generated trees.

trees = cell(1,N); % Initialize output as a cell array
    
for n=1:N
    if n==1
        trees{n} = {[1]};
    elseif n>1    
        new_trees = {};
        
        for k=1:n-1
            prev_trees = trees{k};
            
            for tidx=1:length(prev_trees)
                T = prev_trees{tidx}; %#ok<AGROW>
                
                adj_matrix = zeros(n,n);
                adj_matrix(sub2ind([n n], ...
                    [T(:).' ; ones(1,numel(T)) ],...
                    [ones(1,numel(T)); T(:).'])) = 1;
                    
                [~, p] = bfs(adj_matrix,k+1); %#ok<BFLD>
                
                for v=1:k
                    candidate_adj = adj_matrix;
                    candidate_adj(k+1,v)=candidate_adj(v,k+1)=1; %#ok<SLOW>
                    
                    if isTree(candidate_adj)
                        [~,~,cand_perm]=unique(sortrows(fullMatrixToEdgeList(candidate_adj)));
                        
                        if ~ismember(cand_perm,new_trees,'rows')
                            new_trees{end+1}=fullMatrixToEdgeList(candidate_adj)';
                        end
                    end
                end
                
            end
            
        end
        
        trees{n} = new_trees;
    end
end


function flag = isTree(A)
% ISTREE Checks whether adjacency matrix A represents a valid tree structure.
flag=false;

if nnz(A)==numel(A)-sum(diag(A))-1 && ... 
       isConnected(A)&&~hasCycle(A)
           flag=true;
end
end


function result = fullMatrixToEdgeList(M)
% FULLMATRIXTOEDGE Converts an upper triangular binary adjacency matrix into edge list format.
[r,c]=find(triu(M));
result=[r;c]';
end


function [dist,path] = bfs(G,s)
% BFS Performs breadth-first search on graph G starting from node s.
V=size(G,1);
visited=zeros(V,1);
queue=single(s);

while ~isempty(queue)
    u=queue(1);
    queue(1)=[];
    visited(u)=true;
    
    neighbors=find(G(:,u)&~visited');
    dist(neighbors)=dist(u)+1;
    path(neighbors)=repmat(u,[length(neighbors)]);
    queue=[queue;neighbors];
end
end


function tf=isConnected(A)
% ISCONNECTED Tests connectivity of undirected graphs represented by their adjacency matrices.
[V,E]=size(A);
tf=all(sum(bfs(double(A),1)>0))==E;
end


function cycleFlag = hasCycle(A)
% HASCYCLE Detect cycles within directed/undirected graphs via DFS traversal.
cycleFlag=false;
V=length(A);
color=repmat('W',V,1);
pred=-ones(V,1);

dfs=@(v,p) deal(color(v),'G'), pred(v)=p,...
          any(cellfun(@(w)(strcmp(color(w),'W')&&dfs(w,v)||strcmp(color(w),'G')), num2cell(find(A(v,:)))) || color(v)='B';

any(arrayfun(dfs,(1:V)',-ones(V,1)));

cycleFlag=~all(strcmp(color,'B'));
end

这段程序定义了一个名为 `generateAllTrees` 的函数，它可以接受最大节点数作为参数，并返回一系列单元格数组，其中包含了对应大小下所有互异的树型结构。注意这里的“互异性”是指经过标准化之后不存在两个完全相同的矩阵表达式。