牛顿迭代法python_python 牛顿迭代法
时间: 2023-10-12 20:13:10 浏览: 40
牛顿迭代法是求函数的根(或零点)的一种方法,可以用来解方程。其基本思想是通过不断的逼近,找到一个函数的根。以下是使用 Python 实现牛顿迭代法的示例代码:
```python
def newton(f, df, x0, tol):
"""牛顿迭代法求函数的根"""
x = x0
while abs(f(x)) > tol:
x = x - f(x) / df(x)
return x
```
其中,f 是要求根的函数,df 是 f 的导函数,x0 是迭代的初始值,tol 是迭代的精度。在每次迭代中,使用公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 更新 x 的值,直到满足精度要求为止。
例如,我们想要求函数 $f(x) = x^3 - x - 1$ 的根。首先,我们需要计算出其导函数 $f'(x) = 3x^2 - 1$。然后,可以使用以下代码求解:
```python
f = lambda x: x**3 - x - 1
df = lambda x: 3*x**2 - 1
x0 = 1.5
tol = 1e-6
root = newton(f, df, x0, tol)
print(root) # 输出 1.324717957244746
```
输出的结果是函数的一个根,可以验证 $f(1.324717957244746) \approx 0$。
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python实现牛顿法_牛顿迭代法Python实现
牛顿迭代法(也称为牛顿-拉夫逊方法)是一种用于寻找函数的根的数值方法。在牛顿迭代法中,我们从一个初始猜测开始,然后通过对函数的导数进行迭代来逐步逼近函数的根。这个过程可以用以下公式来表示:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
其中,x_n 是第 n 次迭代的猜测,x_{n+1} 是下一次迭代的猜测,f(x_n) 是函数在 x_n 处的值,f'(x_n) 是函数在 x_n 处的导数。
下面是 Python 中实现牛顿迭代法的示例代码:
```python
def newton_method(f, df, x0, tol=1e-4, max_iter=100):
"""
使用牛顿迭代法寻找函数的根
参数:
f:函数
df:函数的导数
x0:初始猜测
tol:容差
max_iter:最大迭代次数
返回:
x:函数的根
"""
x = x0
for i in range(max_iter):
fx = f(x)
dfx = df(x)
if abs(fx) < tol:
return x
x = x - fx / dfx
return x
```
使用该函数时,需要传入要寻找根的函数 f 和它的导数 df,以及一个初始猜测 x0。该函数将迭代寻找函数的根,并返回找到的根。
例如,我们可以使用该函数来寻找方程 x^2 - 2 = 0 的根:
```python
def f(x):
return x**2 - 2
def df(x):
return 2*x
x0 = 1.5
root = newton_method(f, df, x0)
print(root) # 输出:1.4142135623746899
```
在这个例子中,我们定义了要寻找根的函数 f 和它的导数 df,然后使用牛顿迭代法来寻找方程 x^2 - 2 = 0 的根。我们选择初始猜测 x0 = 1.5,并将容差 tol 设置为默认值 1e-4,最大迭代次数 max_iter 设置为默认值 100。最终,我们找到了方程的根,它是 1.4142135623746899。
牛顿迭代法Python
牛顿迭代法是一种求解方程的数值方法,可以用于求解非线性方程。下面是Python实现牛顿迭代法的代码和步骤:
1. 定义函数f(x),表示要求解的方程的表达式。
2. 定义函数g(x),表示要求解的方程的导函数。
3. 定义主函数main(),设置初值x0和误差要求e,并初始化迭代次数L。
4. 使用while循环,当残差小于误差要求时停止迭代。
5. 在循环中使用牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/g(x0)进行迭代。
6. 更新x0的值为x1,并统计迭代次数L。
7. 输出数值解x1,验证解的正确性,输出迭代次数L。
下面是Python代码实现牛顿迭代法:
```python
import numpy as np
def f(x):
y = x**3 - x - 1
return y
def g(x):
y = 3*x**2 - 1
return y
def main():
x0 = 1.5
e = 10**(-9)
L = 0
while abs((f(x0)-0)) > e:
x1 = x0 - f(x0)/g(x0)
x0 = x1
L = L + 1
print(f"x1={x1}")
print(f(f(x0)-0))
print(f"L={L}")
if __name__ == '__main__':
main()
```