跳频信号检测概率公式推导

跳频信号检测概率公式的推导可以分为以下几个步骤：

1. 假设信号模型为：

$$s(t)=\sum_{k=1}^K a_k\cos(2\pi f_k t+\phi_k)$$

其中，$a_k$、$f_k$、$\phi_k$ 分别表示第 $k$ 个频率分量的幅值、频率和相位。设跳频信号的频率在 $[f_0-\Delta f/2, f_0+\Delta f/2]$ 范围内变化，其中 $\Delta f$ 表示跳频信号的频率偏移量。

2. 假设噪声模型为：

$$n(t)=\sum_{i=1}^{\infty} n_i\delta(t-t_i)$$

其中，$n_i$ 表示第 $i$ 个噪声样本的幅值，$t_i$ 表示第 $i$ 个噪声样本的时间。

3. 将信号和噪声合并，得到接收信号：

$$x(t)=s(t)+n(t)$$

4. 假设接收信号在 $[0,T]$ 时间内采样 $N$ 次，采样间隔为 $\Delta t=T/N$，得到采样序列：

$$x[n]=x(n\Delta t)$$

5. 采用能量检测器进行信号检测，定义检测统计量为：

$$\Lambda=\sum_{n=0}^{N-1} x^2[n]$$

6. 假设噪声为高斯白噪声，即 $n_i$ 是独立同分布的高斯随机变量，其均值为 $0$，方差为 $\sigma^2$。由中心极限定理可知，$\Lambda$ 服从自由度为 $2N$ 的 $\chi^2$ 分布。

7. 根据 Neyman-Pearson 准则，设检测门限为 $\gamma$，即当 $\Lambda>\gamma$ 时判定为跳频信号，当 $\Lambda\le\gamma$ 时判定为噪声。由于跳频信号的频率在 $[f_0-\Delta f/2, f_0+\Delta f/2]$ 范围内变化，所以跳频信号的能量会被分散在多个频率分量上，导致信号能量较为均匀地分布在 $\chi^2$ 分布的各个自由度上。因此，可以采用全局门限来判定跳频信号的存在，即：

$$P_D=P(\Lambda>\gamma)=1-P(\Lambda\le\gamma)$$

其中，$P_D$ 表示检测到跳频信号的概率。

8. 假设信号和噪声的功率分别为 $P_s$ 和 $P_n$，则全局门限可以表示为：

$$\gamma=\frac{P_s+P_n}{\sigma^2}\chi_{2N}^2(\alpha)$$

其中，$\alpha$ 表示误判概率，$\chi_{2N}^2(\alpha)$ 表示自由度为 $2N$ 的 $\chi^2$ 分布的上分位点。由于噪声是高斯白噪声，所以 $P_n=\sigma^2N$。

9. 将门限代入检测概率公式中，得到：

$$P_D=1-P(\Lambda\le\frac{P_s+P_n}{\sigma^2}\chi_{2N}^2(\alpha))$$

10. 对于多频率跳变的跳频信号，可以将其拆分成多个单频率跳变的跳频信号，并分别进行检测。由于各个频率分量之间是相互独立的，所以多频率跳变的跳频信号检测概率可以表示为各个单频率跳变的跳频信号检测概率的乘积：

$$P_D=\prod_{k=1}^K P_D^{(k)}$$

其中，$P_D^{(k)}$ 表示第 $k$ 个频率分量的检测概率。