求解递归方程T(n)=3T(n-1)+ n2-2n+1。( T(1)=1 )
时间: 2024-03-18 08:43:28 浏览: 27
我们可以使用递归树或代入法来求解这个递归方程。这里我们使用代入法。
首先,我们猜测 $T(n)$ 的通解为 $T(n)=An^3+Bn^2+Cn+D$,其中 $A,B,C,D$ 是待定系数。
将 $T(n)$ 代入原方程得:
$$An^3+Bn^2+Cn+D=3A(n-1)^3+3B(n-1)^2+3C(n-1)+D+n^2-2n+1$$
化简得:
$$An^3+(B-3A)n^2+(C-3B+3A)n+(D-3C+3B-A+1)=0$$
由于上式对任意 $n$ 成立,因此它的系数必须都为零。解得:
$$A=\frac{1}{6}, B=\frac{1}{2}, C=\frac{1}{3}, D=0$$
因此,原递归方程的通解为:
$$T(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n$$
可验证 $T(1)=1$,符合初始条件。
相关问题
用迭代法求解递归方程T(n)=1,n<=2;T(n)=T(n-1)+T(n-2) n>2
根据递归方程T(n)=T(n-1)+T(n-2),可以列出以下递推式:
T(3) = T(2) + T(1) = 1 + 1 = 2
T(4) = T(3) + T(2) = 2 + 1 = 3
T(5) = T(4) + T(3) = 3 + 2 = 5
T(6) = T(5) + T(4) = 5 + 3 = 8
以此类推,可以得到T(n)的值。
因此,我们可以写出如下的迭代函数:
```
int fibonacci(int n) {
if (n <= 2) {
return 1;
}
int a = 1, b = 1, c;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
```
这个函数使用类似于斐波那契数列求解的方法,利用循环来迭代计算T(n)的值。时间复杂度为O(n)。
通过递归函数计算S=1+2+3+n
好的,我可以帮你写一个递归函数来计算 S=1+2+3+...+n。
首先,我们需要考虑递归函数的基本情况。当 n 等于 1 时,S 就等于 1,因此递归函数的返回值应该为 1。
接下来,我们考虑递归情况。当 n 大于 1 时,我们可以将 S 表示为 S(n-1) + n。也就是说,S(n) 等于 S(n-1) 加上 n。
因此,我们可以写出如下的递归函数:
```
def calc_S(n):
if n == 1:
return 1
else:
return calc_S(n-1) + n
```
这个函数的作用是计算 S=1+2+3+...+n。当 n 等于 1 时,返回 1;否则,返回 calc_S(n-1) + n,也就是 S(n-1) 加上 n。
你可以调用这个函数来计算任意正整数 n 的值。比如,如果你想计算 S=1+2+3+...+10,你可以这样调用函数:
```
s = calc_S(10)
print(s)
```
这个程序的输出应该是 55,也就是 1+2+3+...+10 的和。