用一维线性元求解一维二阶椭圆方程（Dirichlet 边界条件）代码

在数学上，用有限元素法（Finite Element Method, FEM）解决一维二阶椭圆方程是一个典型的问题，它通常用于描述热传导、波动等物理现象。对于一维情况，方程简化为常微分方程，边界条件为Dirichlet型。以下是一个基本的一维FEM Python示例，使用一维线性无内部节点的简单元素（如梯形单元），并采用数值积分来近似边界的函数值：

import numpy as np

# 定义参数
L = 1.0  # 方域长度
n_elements = 5  # 元素数量
dx = L / n_elements  # 单元宽度
h = dx * 0.5  # 格点位置偏移

def diffusion_coefficient(x):
    return 1.0  # 假设系数恒定

def boundary_condition(x_left, x_right):
    return lambda x: 0.0  # 设定左边界为零，右边界同样可以设定

# 创建网格点和权重
x_nodes = np.linspace(0, L, n_elements + 1)
weights = np.ones_like(x_nodes) / (2 * h)

# 计算矩阵和向量
A = np.zeros((n_elements, n_elements))
b = np.zeros(n_elements)

for i in range(n_elements):
    A[i, i] += weights[i] * diffusion_coefficient(x_nodes[i]) * dx
    if i > 0:
        A[i - 1, i] -= weights[i] * diffusion_coefficient(x_nodes[i]) * dx
    b[i] = weights[i] * boundary_condition(x_nodes[0], x_nodes[-1])(x_nodes[i])

# 解线性系统
u_nodes = np.linalg.solve(A, b)

# 打印结果
print("节点处的温度分布:", u_nodes)

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