下面是与公共子序列相关的一系列问题： • 给定两个字符串 X =< x1, x2, . . . , xm > 和 Y =< y1, y2, . . . , yn >，请设计一个动态规划算法 计算 X 和 Y 的最长公共子序列。 • 给定两个字符串 X 和 Y 。请给出计算最长公共子序列的算法，要求在最长子序列中 X 中的字 符可以重复出现但是 Y 中的不可用（算法只需给出长度不需要具体的子序列）。该问题的一个 例子如图 1所示。 • 除了 X、Y 两个字符串外，给定一个正整数 k。问题和上一小题一样，但是子序列中 X 中的字 符重复出现的次数不超过 k，Y 中的字符不可重复出现。例如，假设 X、Y 如图 1所示，k = 2， 那么在最长子序列中 X 中的字符可以出现两次。

对于第一个问题，可以使用动态规划算法来解决。我们定义一个二维数组 dp[i][j] 表示字符串 X 中前 i 个字符和字符串 Y 中前 j 个字符的最长公共子序列的长度。则状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 (当 Xi = Yj)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (当 Xi ≠ Yj)

最终的结果即为 dp[m][n]，其中 m 和 n 分别为 X 和 Y 的长度。

对于第二个问题，可以先使用上述动态规划算法求出最长公共子序列的长度，然后再通过回溯的方式得到具体的最长公共子序列。在回溯的过程中，如果当前字符在 X 中出现过，则继续回溯；否则，跳过这个字符，继续回溯下一个字符。

对于第三个问题，可以对上述动态规划算法进行改进。我们定义一个三维数组 dp[i][j][k] 表示字符串 X 中前 i 个字符和字符串 Y 中前 j 个字符的最长公共子序列的长度，其中 X 中的字符重复出现的次数不超过 k，Y 中的字符不可重复出现。则状态转移方程为：

dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k-1] + 1 (当 Xi = Yj，且 Xi 在前 i-1 个字符中最多出现了 k-1 次)
dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k]) (当 Xi ≠ Yj)

最终的结果即为 dp[m][n][k]，其中 m 和 n 分别为 X 和 Y 的长度。