1. 某修理店只有一名修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从指数分布，平均需要10人/小时。试求： （1）修理店空闲的概率； （2）店内恰有5位顾客的概率； （3）店内至少有1位顾客的概率； （4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间； （6）等待服务的平均顾客数； （7）每位顾客的平均等待服务时间； （8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。

好的，我会根据您的问题逐一回答。由于这是一个排队论的问题，我们可以使用 M/M/1 模型来解决。

首先，我们需要明确一些符号：

λ：顾客到达率（个/小时）

μ：服务率（个/小时）

ρ：系统繁忙率

Lq：队列中平均顾客数

Wq：顾客在队列中平均等待时间

L：系统中平均顾客数

W：顾客在系统中平均逗留时间

P0：系统空闲概率

Pk：系统中恰好有 k 个顾客的概率

Pkq：队列中恰好有 k 个顾客的概率

1. 修理店空闲的概率

由于泊松流到达，指数分布的服务时间，所以：

λ = 4 个/小时

μ = 1/10 = 0.1 个/小时

根据 M/M/1 模型，ρ = λ / μ = 4 / 0.1 = 40

因为 ρ > 1，所以系统不稳定，不存在系统空闲的情况。

2. 店内恰有5位顾客的概率

P5 = (1 - ρ) * ρ^5 = (1 - 40^-1) * 40^-5 = 2.56 × 10^-6

其中，(1 - ρ) 是系统空闲的概率，ρ^5 是系统中有 5 个顾客的概率。

3. 店内至少有1位顾客的概率

P1以上 = 1 - P0 = 1 - ρ^0 * (1 - ρ) = 1 - (1/40) * (39/40)^0 = 0.975

其中，ρ^0 是系统空闲的概率，(1 - ρ) 是系统非空闲的概率，(39/40)^0 是队列为空的概率。

4. 在店内的平均顾客数

L = λ * W = λ * (Wq + 1/μ) = 4 * (0.025 + 10) = 40.1 个

其中，Wq 是顾客在队列中平均等待时间，1/μ 是顾客在服务位置的平均等待时间。

5. 每位顾客在店内的平均逗留时间

W = Wq + 1/μ = 0.025 + 10 = 10.025 小时

其中，Wq 是顾客在队列中平均等待时间，1/μ 是顾客在服务位置的平均等待时间。

6. 等待服务的平均顾客数

Lq = λ * Wq = 4 * 0.025 = 0.1 个

其中，Wq 是顾客在队列中平均等待时间。

7. 每位顾客的平均等待服务时间

Wq = ρ^2 / (μ * (1 - ρ)) = 40^2 / (0.1 * (40 - 1)) = 1.64 小时

其中，ρ 是系统繁忙率，μ 是服务率。

8. 顾客在店内等待时间超过10分钟的概率

令 T 表示顾客在系统中的逗留时间，则 T 的概率密度函数为：

f(T) = λ * e^(-λT) (T > 0)

所以，顾客在店内等待时间超过 10 分钟（即 1/6 小时）的概率为：

∫(1/6)∞ λ * e^(-λT) dT = e^(-λ/6) = e^(-2/3) ≈ 0.50

其中，∫(1/6)∞ 表示从 1/6 到正无穷的积分。