三个点在同一个半球的概率

假设这三个点是 $A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2), C(x_3,y_3,z_3)$。如果它们在同一个半球内，那么这个半球的直径必须经过其中一个点。不失一般性，我们假设直径经过点 $A$。

那么，剩下两个点 $B$ 和 $C$ 必须在以 $A$ 为球心的半球内。我们可以将问题转化为：给定一个球心和两个点，求这两个点在以该球心为球心的半球内的概率。

我们可以将球心固定在坐标系原点 $(0,0,0)$ 上，这样我们只需要考虑两个点的位置。不失一般性，我们假设点 $A$ 在第一象限。此时，点 $B$ 和点 $C$ 在半球内的条件是它们的连线在 $xy$ 平面上方。因此，我们可以将点 $B$ 和点 $C$ 随机分布在第二、三象限和第四象限，并且它们的连线在 $xy$ 平面上方的概率为 $\frac{1}{2}$。

因此，三个点在同一个半球内的概率为 $\frac{1}{2}$。