树状数组求区间最大值和最小值

树状数组是一种用于高效维护前缀和的数据结构，可以用来求解区间最大值和最小值。下面是两种使用树状数组求解区间最大值和最小值的算法：

1. 使用树状数组维护区间最大值的算法：

void updata(int i, int val) {
    while (i <= n) {
        h[i] = max(h[i], val);
        i += lowbit(i);
    }
}

2. 使用树状数组维护区间最小值的算法：

void updata(int x) {
    int lx, i;
    while (x <= n) {
        h[x] = a[x];
        lx = lowbit(x);
        for (i=1; i<lx; i<<=1)
            h[x] = min(h[x], h[x-i]);
        x += lowbit(x);
    }
}

这两种算法都是通过不断更新树状数组中的元素来维护区间的最大值或最小值。其中，lowbit(x)函数用于计算x的最低位1所代表的值。

相关问题

树状数组怎么求区间最值

树状数组可以用来维护一个序列的前缀和，从而实现快速区间查询。但是如果想要求区间最大值或最小值，需要进行一些修改。

具体做法如下：

1. 定义一个数组 $maxn$，表示每个节点的最大值。

2. 在更新某个节点的值时，同时更新其父节点的最大值。

3. 在查询区间最大值时，从右往左遍历每个节点，找到第一个其右边的兄弟节点的最大值大于等于查询区间左端点的位置，然后从该兄弟节点开始往右遍历，找到第一个其左边的兄弟节点的最大值小于等于查询区间右端点的位置。这两个位置之间的节点的最大值即为查询区间的最大值。

示例代码：

const int N = 1e5;
int a[N], c[N], maxn[N];

void update(int x, int v) {
    a[x] = v;
    while (x <= N) {
        c[x] += v;
        maxn[x] = max(maxn[x], v);
        x += x & -x;
    }
}

int query(int l, int r) {
    int res = INT_MIN;
    for (int i = r; i >= l; ) {
        if (i - (i & -i) + 1 >= l) {
            res = max(res, maxn[i]);
            i -= i & -i;
        } else {
            res = max(res, a[i]);
            i--;
        }
    }
    return res;
}

其中，$a$ 数组表示原始序列，$c$ 数组表示树状数组，$maxn$ 数组表示每个节点的最大值。在更新节点 $x$ 的值时，同时更新 $maxn$ 数组。在查询区间最大值时，从右往左遍历每个节点，找到第一个其右边的兄弟节点的最大值大于等于查询区间左端点的位置，然后从该兄弟节点开始往右遍历，找到第一个其左边的兄弟节点的最大值小于等于查询区间右端点的位置。这两个位置之间的节点的最大值即为查询区间的最大值。

c++ ， 使用树状数组 维护一个 长度为100的数组 要求每次查询求出区间内的最小值，并且可以进行单点修改其中一个元素的值

树状数组（Binary Indexed Tree）是一种用于维护前缀和的数据结构，可以支持单点修改和区间查询。它的主要思想是将数组按照二进制位划分成若干个区间，每个区间的长度是2的幂次，然后使用树状结构来维护这些区间的和（或最小值、最大值等）。

在本题中，我们可以使用树状数组来维护一个长度为100的数组。首先，我们需要定义两个操作：

1. 单点修改：将某个位置的元素修改为给定的值。

2. 区间查询：查询区间内的最小值。

为了支持这两个操作，我们需要使用两个数组：

1. 数组a：存储原始的数组元素。

2. 数组b：存储树状数组的节点值，也就是区间的最小值。

具体实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100;
int a[N], b[N];

// 单点修改，将a[i]的值修改为v
void modify(int i, int v) {
    for (int j = i; j < N; j += j & -j) {
        b[j] = min(b[j], v);
    }
    a[i] = v;
}

// 区间查询，查询区间[l, r]的最小值
int query(int l, int r) {
    int res = INT_MAX;
    for (int i = r; i >= l; i -= i & -i) {
        res = min(res, b[i]);
    }
    return res;
}

int main() {
    // 初始化数组b为INT_MAX
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        b[i] = INT_MAX;
    }

    // 测试单点修改和区间查询
    modify(0, 2);
    modify(1, 1);
    modify(2, 4);
    modify(3, 3);
    modify(4, 5);
    cout << query(0, 4) << endl; // 输出3

    modify(2, 0);
    cout << query(0, 4) << endl; // 输出0

    return 0;
}

在上面的代码中，我们使用了两个循环来实现单点修改和区间查询。第一个循环用于修改或查询树状数组的值，它的循环条件是j += j & -j，意味着每次循环都会将j的最后一个非零位加上它本身，这样就能够遍历到j所在的区间以及它的父节点。第二个循环用于查询区间的最小值，它的循环条件是i -= i & -i，意味着每次循环都会将i的最后一个非零位减去它本身，这样就能够遍历到i所在的区间以及它的祖先节点。

最后，我们需要注意的是，在初始化数组b时，我们需要将它的长度设为N+1，因为树状数组的第一个元素b[0]不使用。此外，我们还需要将数组b的初始值设为INT_MAX，这样才能保证查询区间的最小值正确。