共轭梯度法的基本原理

共轭梯度法是一种用于求解大规模线性方程组的迭代算法。它的基本思想是利用已知点的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。共轭梯度法的主要优点是收敛速度快，尤其适用于大规模稀疏矩阵的求解。其基本原理如下：
1. 共轭性：在共轭梯度法中，每一次迭代都要求出一个新的搜索方向，这个方向必须与前面的搜索方向共轭，即两个方向的内积为0。这样可以保证每次迭代都能够找到一个新的极小点。
2. 最速下降法：共轭梯度法的搜索方向是由最速下降法得到的，即在当前点的梯度方向上进行搜索，找到一个使得目标函数下降最快的方向。
3. 步长的确定：共轭梯度法中的步长是通过精确线性搜索或非精确线性搜索来确定的。其中，精确线性搜索是指在每次迭代中，通过求解一维函数的极小值来确定步长；非精确线性搜索则是通过一系列迭代来逐步逼近最优步长。
4. 终止条件的确定：共轭梯度法的终止条件通常是目标函数的梯度小于某个给定的阈值，或者达到了预设的最大迭代次数。