矩阵连乘的时空复杂度
时间: 2024-06-13 11:06:07 浏览: 16
矩阵连乘是指将多个矩阵相乘的过程。假设有 n 个矩阵,它们的维度分别为 d×d,d×d,...,d[n-1]×d[n],则这 n 个矩阵相乘的时空复杂度如下:
时间复杂度:O(d×d×d×...×d[n-1]×d[n])。
空间复杂度:O(d×d[1]+d×d+...+d[n-1]×d[n])。
其中,时间复杂度是指算法解决问题所需要的计算工作量,空间复杂度是指算法解决问题所需要的内存空间。
相关问题
动态规划矩阵连乘的复杂度计算
矩阵连乘问题可以使用动态规划来解决。假设有n个矩阵{A1, A2, ..., An},其中Ai的维度为pi-1×pi(1≤i≤n),要求对它们进行连乘,即(A1×A2×...×An)。
定义m[i,j]表示Ai×Ai+1×...×Aj的最小乘法次数,那么有以下递推式:
m[i,j] = 0, (i=j)
m[i,j] = min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1×pk×pj}, (i≤k<j)
其中,i和j表示矩阵序列的起点和终点,k表示断点,pi表示矩阵Ai的行数,pj表示矩阵Aj的列数,pk表示矩阵Ak的列数。
时间复杂度为O(n^3),空间复杂度为O(n^2)。
实现实现矩阵连乘时间复杂度与空间复杂度
矩阵连乘问题是指给定n个矩阵{A1,A2,...An},每个矩阵的大小为pi-1 * pi,求它们的连乘积A1A2...An的最小乘法次数。
矩阵连乘问题可以使用动态规划来解决。具体地,我们可以定义一个二维数组m[i][j]来表示从矩阵Ai到Aj的连乘积的最小乘法次数,以及一个二维数组s[i][j]来表示从哪个位置切割矩阵连乘可以得到最优解。具体来说,m[i][j]可以通过以下递归式计算得到:
m[i][j] = 0 (i=j)
m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj} (i<=k<j)
其中,pi-1 * pk * pj表示矩阵Ai到Ak和Ak+1到Aj的连乘积的乘法次数,即它们的积的行数和列数。
在计算m[i][j]的同时,我们可以记录下切割点k的位置,即s[i][j]。具体来说,s[i][j]可以通过以下递归式计算得到:
s[i][j] = k (i<=k<j)
最终,我们可以通过s数组来构造出最优解的连乘顺序。
时间复杂度:由于需要计算n^2个子问题,每个子问题需要O(n)的时间来计算,因此总时间复杂度为O(n^3)。
空间复杂度:需要使用两个二维数组m和s,每个数组大小为n^2,因此总空间复杂度为O(n^2)。