手动推导逻辑回归和梯度

逻辑回归是一种用于分类问题的机器学习算法，其目标是根据输入特征预测样本属于哪个类别。梯度下降是一种优化算法，用于最小化损失函数。

推导逻辑回归和梯度下降的过程如下：

首先，我们定义逻辑回归模型的假设函数为：

hθ(x) = g(θ^T * x)

其中，hθ(x) 是预测值，g() 是sigmoid函数， θ 是模型的参数向量，x 是输入特征向量。

其次，我们定义损失函数为：

J(θ) = -1/m * sum(y * log(hθ(x)) + (1 - y) * log(1 - hθ(x)))

其中，m 是训练样本数量，y 是真实标签。

现在我们来推导梯度下降算法的更新规则。梯度下降的目标是最小化损失函数 J(θ)。我们需要计算损失函数对参数 θ 的偏导数。

首先，计算关于一个样本的损失函数的偏导数：

∂J/∂θj = (hθ(x) - y) * xj

其中，j 表示参数向量中的第 j 个元素。

接下来，我们可以得到整个训练集上的梯度（即参数向量的偏导数）：

∂J/∂θj = 1/m * sum((hθ(x) - y) * xj)

最后，根据梯度下降算法的更新规则，更新参数向量 θ：

θj := θj - α * ∂J/∂θj

其中，α 是学习率，控制参数更新的步长。

以上就是逻辑回归和梯度下降的推导过程。通过迭代更新参数，梯度下降算法能够找到使损失函数最小化的参数值，进而实现对逻辑回归模型的训练。

相关问题

逻辑回归梯度上升推导

逻辑回归是一种常用的分类算法，它使用梯度上升算法来求解最大似然估计的参数θ。下面是逻辑回归梯度上升的推导过程：

1. 首先，我们定义逻辑回归的假设函数hθ(x)为：
hθ(x) = g(θ^T * x)
其中，g(z)是逻辑函数（也称为sigmoid函数），定义为：
g(z) = 1 / (1 + e^(-z))

2. 接下来，我们定义逻辑回归的对数似然函数L(θ)为：
L(θ) = Σ(yi * log(hθ(xi)) + (1 - yi) * log(1 - hθ(xi)))
其中，yi是样本的真实标签，xi是样本的特征向量。

3. 我们的目标是求解使得对数似然函数L(θ)最大化的参数θ。为了实现这个目标，我们使用梯度上升算法来迭代更新参数θ。

4. 首先，我们计算对数似然函数L(θ)对参数θ的偏导数：
∂L(θ) / ∂θj = Σ(xi * (yi - hθ(xi)))

5. 然后，我们使用梯度上升算法来更新参数θ：
θj := θj + α * ∂L(θ) / ∂θj
其中，α是学习率，控制参数更新的步长。

6. 重复步骤4和步骤5，直到参数θ收敛或达到最大迭代次数。

通过以上推导，我们可以使用梯度上升算法来求解逻辑回归的最大似然估计参数θ。

逻辑回归梯度下降推导

逻辑回归是一种二分类模型，它的目标是学习一个函数，将输入的特征映射到0或1的输出。梯度下降是一种常用的优化算法，可以用于求解逻辑回归模型的参数。

假设我们有m个样本，每个样本有n个特征，用$x^{(i)}$表示第i个样本的特征向量，$y^{(i)}$表示第i个样本的标签（0或1），$w$表示模型的参数向量，$b$表示模型的偏置项，则逻辑回归模型可以表示为：

$$h_{w,b}(x)=\frac{1}{1+e^{-(wx+b)}}$$

其中$h_{w,b}(x)$表示预测值，$e$表示自然常数。我们的目标是最小化损失函数：

$$J(w,b)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log h_{w,b}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-h_{w,b}(x^{(i)}))]$$

这个损失函数可以用来衡量模型预测值与真实值之间的差距。我们可以使用梯度下降算法来最小化这个损失函数。梯度下降算法的基本思想是沿着损失函数的负梯度方向更新参数，直到达到最小值。

具体来说，我们可以使用以下公式来更新参数：
$$w:=w-\alpha\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$$

$$b:=b-\alpha\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$$

其中$\alpha$表示学习率，$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$和$\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$分别表示损失函数对参数$w$和$b$的偏导数。这些偏导数可以通过求解损失函数的梯度来计算。

对于逻辑回归模型，我们可以使用以下公式来计算梯度：

$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}$$

$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})$$

这些公式可以通过对损失函数进行求导得到。我们可以使用这些公式来计算梯度，并使用梯度下降算法来更新参数，直到达到最小值。