手动推导逻辑回归和梯度

逻辑回归是一种用于分类问题的机器学习算法，其目标是根据输入特征预测样本属于哪个类别。梯度下降是一种优化算法，用于最小化损失函数。

推导逻辑回归和梯度下降的过程如下：

首先，我们定义逻辑回归模型的假设函数为：

hθ(x) = g(θ^T * x)

其中，hθ(x) 是预测值，g() 是sigmoid函数， θ 是模型的参数向量，x 是输入特征向量。

其次，我们定义损失函数为：

J(θ) = -1/m * sum(y * log(hθ(x)) + (1 - y) * log(1 - hθ(x)))

其中，m 是训练样本数量，y 是真实标签。

现在我们来推导梯度下降算法的更新规则。梯度下降的目标是最小化损失函数 J(θ)。我们需要计算损失函数对参数 θ 的偏导数。

首先，计算关于一个样本的损失函数的偏导数：

∂J/∂θj = (hθ(x) - y) * xj

其中，j 表示参数向量中的第 j 个元素。

接下来，我们可以得到整个训练集上的梯度（即参数向量的偏导数）：

∂J/∂θj = 1/m * sum((hθ(x) - y) * xj)

最后，根据梯度下降算法的更新规则，更新参数向量 θ：

θj := θj - α * ∂J/∂θj

其中，α 是学习率，控制参数更新的步长。

以上就是逻辑回归和梯度下降的推导过程。通过迭代更新参数，梯度下降算法能够找到使损失函数最小化的参数值，进而实现对逻辑回归模型的训练。

相关问题

逻辑回归代价函数代码

这篇文章介绍了逻辑回归模型的参数拟合过程，并给出了逻辑回归代价函数的推导过程和代码实现。逻辑回归的代价函数被重新定义为：

def cost(theta, X, y):
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X* theta.T)))
    second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X* theta.T)))
    return np.sum(first - second) / (len(X))

其中sigmoid函数是一个常用的激活函数，用于将输入值映射到0到1之间的概率值。
这个代价函数可以用梯度下降算法来求得能使代价函数最小的参数。具体的推导过程和算法步骤可以参考文章中的内容。此外，除了梯度下降算法外，还有一些其他的优化算法可以用来求解逻辑回归模型的参数，如共轭梯度、BFGS和LBFGS等。这些算法通常更加复杂和优越，并且不需要手动选择学习率。